关于傅里叶变换:时移与频移解读之解读
简 介: 本文讨论了傅里叶变换中相互关联的三个性质,时移特性、频移特性和尺度特性。对于信号与系统的理解需要能够在经典理论、物理直观以及数值计算三个方面进行深入挖掘和理解,这样在未来的应用中才能够更好的透过现象看本质。
关键词
: FFT,时移特性,频移特性,尺度特性
§00 背 景
今天在 西土城山羊卷 的博客看到她在其博文 傅里叶变换:时移与频移性质解读|CSDN创作打卡 中谈到对于傅里叶变换中的时移和频移的理解。其中两个观点还是蛮有新意的。
§01 时移特性
傅里叶变换的时移特性表面了信号 f(t)f\left( t \right)f(t) 经过延迟时间 t0,t0≥0t_0 ,\,\,t_0 \ge 0t0,t0≥0 之后,形成信号 f(t−t0)f\left( {t - t_0 } \right)f(t−t0) 。那么它对应的傅里叶变换 Ft0(ω)F_{t0} \left( \omega \right)Ft0(ω) 与原始信号 f(t)f\left( t \right)f(t) 对应的频谱 F(ω)F\left( \omega \right)F(ω) 之间的关系为:Ft0(ω)=F(ω)⋅e−jωt0F_{t0} \left( \omega \right) = F\left( \omega \right) \cdot e^{ - j\omega t_0 }Ft0(ω)=F(ω)⋅e−jωt0
1.1 性质证明
证明这个性质非常容易,只要在傅里叶变换的定义上,通过 变量替换 便可以在三步之内完成证明。
根据傅里叶变换定义:F(ω)=∫−∞∞f(t)e−jωtdtF\left( \omega \right) = \int_{ - \infty }^\infty {f\left( t \right)e^{ - j\omega t} dt}F(ω)=∫−∞∞f(t)e−jωtdt
那么对于:Fto(ω)=∫−∞∞f(t−t0)e−jωtdtF_{to} \left( \omega \right) = \int_{ - \infty }^\infty {f\left( {t - t_0 } \right)e^{ - j\omega t} dt}Fto(ω)=∫−∞∞f(t−t0)e−jωtdt
利用: t−t0→lt - t_0 \to lt−t0→l ,原来表达式可以写为:Ft0(ω)=∫−∞+∞f(l)e−jω(l+t0)dlF_{t0} \left( \omega \right) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {f\left( l \right)e^{ - j\omega \left( {l + t_0 } \right)} dl}Ft0(ω)=∫−∞+∞f(l)e−jω(l+t0)dl=[∫−∞∞f(l)e−jωldl]⋅e−jωt0=F(ω)⋅e−jωt0= \left[ {\int_{ - \infty }^\infty {f\left( l \right)e^{ - j\omega l} dl} } \right] \cdot e^{ - j\omega t_0 } = F\left( \omega \right) \cdot e^{ - j\omega t_0 }=[∫−∞∞f(l)e−jωldl]⋅e−jωt0=F(ω)⋅e−jωt0
1.2 物理解释
从上面的公式可以看出两点:
- 由于时间延迟,信号中所有频率分量都出现了一个负相位 因子: e−jωt0e^{ - j\omega t_0 }e−jωt0 ;而信号的幅度谱不变。
- 每个频率的负相位与该频率成线性关系,比例为 −t0- t_0−t0 。
1.2.1 特定信号举例
下面给出一个由四个频率组成的振荡信号:
f(t)=f(10t)+f(12t)+f(15t)+f(18t)f\left( t \right) = f\left( {10t} \right) + f\left( {12t} \right) + f\left( {15t} \right) + f\left( {18t} \right)f(t)=f(10t)+f(12t)+f(15t)+f(18t)
它对应的波形为:
▲ 图1.2.1 信号f(t)的四个频率分量
from headm import * # =fdim = [10,12,15,18]
t = linspace(0,2, 1000)plt.clf()
plt.figure(figsize=(10,10))plt.subplot(len(fdim)+1, 1, 1)
sumsin = zeros(len(t))
for f in fdim:sumsin = sumsin + sin(f*t)
plt.plot(t, sumsin, label='F:%0.1rad/s')
plt.xlabel("t")
plt.ylabel("sint")
plt.grid(True)
plt.tight_layout()for id,f in enumerate(fdim):plt.subplot(len(fdim)+1, 1, id+2)plt.plot(t, sin(f*t), label='F:%0.1rad/s')plt.xlabel("t")plt.ylabel("sint")plt.grid(True)plt.tight_layout()plt.savefig(r"d:\temp\figure1.jpg")
plt.close()
tspshowimage(image=r"d:\temp\figure1.jpg")
下面假设信号平移了 t0=0.1t_0 = 0.1t0=0.1 ,变成了 t→t−0.1t \to t - 0.1t→t−0.1 。那么对应的波形为:
▲ 图1.2.2 延时信号对应的波形及其各个频率分量
在上面图中,可以明显看到,原来信号延迟的时间 t0=0.1t_0 = 0.1t0=0.1 ,所有频率分量都延迟相同的时间 t0=0.1t_0 = 0.1t0=0.1 。在此基础上, 西土城山羊卷 给出了两点有趣的解释,这些在之前授课中很少阐明:
- 为什么对应的延迟时间 t0≥0t_0 \ge 0t0≥0 时,所有的相位都是负的?从上图中可以直观看到所有的正弦分量的起始点实际上都基本上对应的是负的相位。
- 为什么不同频率对应的相位延迟不同?就是对于相同的时间 t0t_0t0 ,转换到相位时 θ0=t0⋅ω\theta _0 = t_0 \cdot \omegaθ0=t0⋅ω 与频率成正比。
▲ 图1.2.3 几种不同的典型性好平移后对应的频谱和相位
§02 频移特性
实际上 西土城山羊卷 博文中有趣的观点在于对于傅里叶变换频移特性的阐述。
2.1 性质证明
这是在傅里叶变换中与时移特性对偶的一个特性。它讲述了如果把信号 f(t)f\left( t \right)f(t) 的频谱 F(ω)F\left( \omega \right)F(ω) 在频域进行平移 ω0\omega _0ω0 ,变成 F(ω−ω0)F\left( {\omega - \omega _0 } \right)F(ω−ω0) ,那么对应的时域信号变成:fω0(t)=f(t)⋅ejω0tf_{\omega 0} \left( t \right) = f\left( t \right) \cdot e^{j\omega _0 t}fω0(t)=f(t)⋅ejω0t
对比一下前面的时移特性,你会发现频移特性几乎与时移特性一模一样,只是叙述的时域、频域颠倒了一下,另外在时域信号上增加的相位因子是正的。
证明过程也与前面时移特性一样,只需要从傅里叶反变换出发,利用变量替换也就可以了。
根据傅里叶反变换:f(t)=12π∫−∞+∞F(ω)ejωtdωf\left( t \right) = {1 \over {2\pi }}\int_{ - \infty }^{ + \infty } {F\left( \omega \right)e^{j\omega t} d\omega }f(t)=2π1∫−∞+∞F(ω)ejωtdω
那么频率平移之后,对应的信号:
fω0(t)=12π∫−∞∞F(ω−ω0)ejωtdωf_{\omega 0} \left( t \right) = {1 \over {2\pi }}\int_{ - \infty }^\infty {F\left( {\omega - \omega _0 } \right)e^{j\omega t} d\omega }fω0(t)=2π1∫−∞∞F(ω−ω0)ejωtdω
利用变量替换: ω−ω0→λ\omega - \omega _0 \to \lambdaω−ω0→λ ,则:fω0(t)=∫−∞+∞F(λ)ej(λ+ω0)tdλf_{\omega 0} \left( t \right) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {F\left( \lambda \right)e^{j\left( {\lambda + \omega _0 } \right)t} d\lambda }fω0(t)=∫−∞+∞F(λ)ej(λ+ω0)tdλ=[∫−∞+∞F(λ)ejλtdλ]⋅ejω0t=f(t)⋅ejω0t= \left[ {\int_{ - \infty }^{ + \infty } {F\left( \lambda \right)e^{j\lambda t} d\lambda } } \right] \cdot e^{j\omega _0 t} = f\left( t \right) \cdot e^{j\omega _0 t}=[∫−∞+∞F(λ)ejλtdλ]⋅ejω0t=f(t)⋅ejω0t
2.2 物理解释
但是在实际中,对于频移特性的物理解释则是从时域的角度来阐明。即在时域中,信号 f(t)⋅ejω0tf\left( t \right) \cdot e^{j\omega _0 t}f(t)⋅ejω0t 不是被称为增加了一个相位因子,而是指信号 f(t)f\left( t \right)f(t) 对振荡信号 ejω0te^{j\omega _0 t}ejω0t 进行 幅度调制 ,调制后的信号 f(t)⋅ejω0tf\left( t \right) \cdot e^{j\omega _0 t}f(t)⋅ejω0t 的频谱是原来信号 f(t)f\left( t \right)f(t) 的频谱 F(ω)F\left( \omega \right)F(ω) 进行平移。通常情况下,是频谱从低频搬移到高频。
当然,也可以利用这个原理将信号的频谱从高频搬回到低频。从而实现了信号的调制与解调。
在通常情况下,对于信号调制都是使用正弦波,而不是复振荡信号,因此对应的信号频谱就表现为左右平移的情况。如下图所示。
▲ 图2.2.1 信号频谱的搬移对应的信号调制过程
2.3 尺度变换对应的频率变化
西土城山羊卷 在解释信号频谱搬移的时候提出了一个有趣的观点:你看看,信号的频谱搬移到高频了,所有的频率都增加了。为什么信号在时域表现不是尺度变化呢?
也就是: f(t)→f(a⋅t),a>1f\left( t \right) \to f\left( {a \cdot t} \right),\,\,\,\,a > 1f(t)→f(a⋅t),a>1 。比如, f(t)=sin(ωt)f\left( t \right) = \sin \left( {\omega t} \right)f(t)=sin(ωt) ,对应的 f(2t)=sin(2ωt)f\left( {2t} \right) = \sin \left( {2\omega t} \right)f(2t)=sin(2ωt) ,这个频率也变高了。
这就会引出傅里叶变换中的“尺度变化”性质。
如果 一个信号在时域发生了尺度变化 f(t)→f(a⋅t)f\left( t \right) \to f\left( {a \cdot t} \right)f(t)→f(a⋅t) ,这个信号有可能被压缩( a>1a > 1a>1 ),也有可能被拉长( a<1a < 1a<1 ),这都会引起其中的频率分量的变化。但这个变化不再是平移,而是呈现相反的尺度变化:
这个规律与频移是不同的。
在一般的工程应用中,尺度变化实现起来不太容易,但在“空间换时间,时间换空间”的过程中,可以通过巧妙的设置,完成信号在时域和频域中的尺度变换。
▲ 图2.3.1 傅里叶变换的尺度性质
※ 变换总结 ※
本文讨论了傅里叶变换中相互关联的三个性质,时移特性、频移特性和尺度特性。对于信号与系统的理解需要能够在经典理论、物理直观以及数值计算三个方面进行深入挖掘和理解,这样在未来的应用中才能够更好的透过现象看本质。
■ 相关文献链接:
- 傅里叶变换:时移与频移性质解读|CSDN创作打卡
- 变量替换
- 西土城山羊卷
- 幅度调制
● 相关图表链接:
- 图1.2.1 信号f(t)的四个频率分量
- 图1.2.2 延时信号对应的波形及其各个频率分量
- 图1.2.3 几种不同的典型性好平移后对应的频谱和相位
- 图2.2.1 信号频谱的搬移对应的信号调制过程
- 图2.3.1 傅里叶变幻的尺度性质
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原标题:氧生福地 玩美北湖(上)——为时光守候两千年一次说走就走的旅行,只有一张高铁票的距离~ 所以,湖南郴州,我来了~ 从广州南站出发,一个半小时就到达郴州西站了。在动车上,同时改票的南风兄和我居然被分到了一个车厢,所以一路非常愉快地聊了过来。 挺好,最起…...
2024/5/4 23:55:06 - 氧生福地 玩美北湖(中)——永春梯田里的美与鲜
原标题:氧生福地 玩美北湖(中)——永春梯田里的美与鲜一觉醒来,因为大家太爱“美”照,在柳毅山庄去寻找龙女而错过了早餐时间。近十点,向导坏坏还是带着饥肠辘辘的我们去吃郴州最富有盛名的“鱼头粉”。说这是“十二分推荐”,到郴州必吃的美食之一。 哇塞!那个味美香甜…...
2024/5/4 23:54:56 - 氧生福地 玩美北湖(下)——奔跑吧骚年!
原标题:氧生福地 玩美北湖(下)——奔跑吧骚年!让我们红尘做伴 活得潇潇洒洒 策马奔腾共享人世繁华 对酒当歌唱出心中喜悦 轰轰烈烈把握青春年华 让我们红尘做伴 活得潇潇洒洒 策马奔腾共享人世繁华 对酒当歌唱出心中喜悦 轰轰烈烈把握青春年华 啊……啊……啊 两…...
2024/5/4 23:55:06 - 扒开伪装医用面膜,翻六倍价格宰客,小姐姐注意了!
原标题:扒开伪装医用面膜,翻六倍价格宰客,小姐姐注意了!扒开伪装医用面膜,翻六倍价格宰客!当行业里的某一品项火爆了,就会有很多商家蹭热度,装逼忽悠,最近火爆朋友圈的医用面膜,被沾上了污点,到底怎么回事呢? “比普通面膜安全、效果好!痘痘、痘印、敏感肌都能用…...
2024/5/5 8:13:33 - 「发现」铁皮石斛仙草之神奇功效用于医用面膜
原标题:「发现」铁皮石斛仙草之神奇功效用于医用面膜丽彦妆铁皮石斛医用面膜|石斛多糖无菌修护补水贴19大优势: 1、铁皮石斛:自唐宋以来,一直被列为皇室贡品,铁皮石斛生于海拔1600米的悬崖峭壁之上,繁殖力差,产量极低,所以古代仅供皇室、贵族享用 2、铁皮石斛自古民间…...
2024/5/4 23:55:16 - 丽彦妆\医用面膜\冷敷贴轻奢医学护肤引导者
原标题:丽彦妆\医用面膜\冷敷贴轻奢医学护肤引导者【公司简介】 广州华彬企业隶属香港华彬集团有限公司,专注美业21年,其旗下品牌: 「圣茵美」私密荷尔蒙抗衰,产后修复 「圣仪轩」私密荷尔蒙抗衰,产后修复 「花茵莳」私密荷尔蒙抗衰,产后修复 「丽彦妆」专注医学护…...
2024/5/4 23:54:58 - 广州械字号面膜生产厂家OEM/ODM4项须知!
原标题:广州械字号面膜生产厂家OEM/ODM4项须知!广州械字号面膜生产厂家OEM/ODM流程及注意事项解读: 械字号医用面膜,其实在我国并没有严格的定义,通常我们说的医美面膜指的应该是一种「医用敷料」,也就是说,医用面膜其实算作「医疗器械」的一种,又称「医用冷敷贴」。 …...
2024/5/4 23:55:01 - 械字号医用眼膜缓解用眼过度到底有无作用?
原标题:械字号医用眼膜缓解用眼过度到底有无作用?医用眼膜/械字号眼膜/医用冷敷眼贴 凝胶层为亲水高分子材料,含70%以上的水分。体表皮肤温度传导到本产品的凝胶层,热量被凝胶内水分子吸收,通过水分的蒸发带走大量的热量,可迅速地降低体表皮肤局部温度,减轻局部皮肤的灼…...
2024/5/4 23:54:56 - 配置失败还原请勿关闭计算机,电脑开机屏幕上面显示,配置失败还原更改 请勿关闭计算机 开不了机 这个问题怎么办...
解析如下:1、长按电脑电源键直至关机,然后再按一次电源健重启电脑,按F8健进入安全模式2、安全模式下进入Windows系统桌面后,按住“winR”打开运行窗口,输入“services.msc”打开服务设置3、在服务界面,选中…...
2022/11/19 21:17:18 - 错误使用 reshape要执行 RESHAPE,请勿更改元素数目。
%读入6幅图像(每一幅图像的大小是564*564) f1 imread(WashingtonDC_Band1_564.tif); subplot(3,2,1),imshow(f1); f2 imread(WashingtonDC_Band2_564.tif); subplot(3,2,2),imshow(f2); f3 imread(WashingtonDC_Band3_564.tif); subplot(3,2,3),imsho…...
2022/11/19 21:17:16 - 配置 已完成 请勿关闭计算机,win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机...
win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机”问题的解决方法在win7系统关机时如果有升级系统的或者其他需要会直接进入一个 等待界面,在等待界面中我们需要等待操作结束才能关机,虽然这比较麻烦,但是对系统进行配置和升级…...
2022/11/19 21:17:15 - 台式电脑显示配置100%请勿关闭计算机,“准备配置windows 请勿关闭计算机”的解决方法...
有不少用户在重装Win7系统或更新系统后会遇到“准备配置windows,请勿关闭计算机”的提示,要过很久才能进入系统,有的用户甚至几个小时也无法进入,下面就教大家这个问题的解决方法。第一种方法:我们首先在左下角的“开始…...
2022/11/19 21:17:14 - win7 正在配置 请勿关闭计算机,怎么办Win7开机显示正在配置Windows Update请勿关机...
置信有很多用户都跟小编一样遇到过这样的问题,电脑时发现开机屏幕显现“正在配置Windows Update,请勿关机”(如下图所示),而且还需求等大约5分钟才干进入系统。这是怎样回事呢?一切都是正常操作的,为什么开时机呈现“正…...
2022/11/19 21:17:13 - 准备配置windows 请勿关闭计算机 蓝屏,Win7开机总是出现提示“配置Windows请勿关机”...
Win7系统开机启动时总是出现“配置Windows请勿关机”的提示,没过几秒后电脑自动重启,每次开机都这样无法进入系统,此时碰到这种现象的用户就可以使用以下5种方法解决问题。方法一:开机按下F8,在出现的Windows高级启动选…...
2022/11/19 21:17:12 - 准备windows请勿关闭计算机要多久,windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机怎么办...
有不少windows10系统用户反映说碰到这样一个情况,就是电脑提示正在准备windows请勿关闭计算机,碰到这样的问题该怎么解决呢,现在小编就给大家分享一下windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机的具体第一种方法:1、2、依次…...
2022/11/19 21:17:11 - 配置 已完成 请勿关闭计算机,win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机”的解决方法...
今天和大家分享一下win7系统重装了Win7旗舰版系统后,每次关机的时候桌面上都会显示一个“配置Windows Update的界面,提示请勿关闭计算机”,每次停留好几分钟才能正常关机,导致什么情况引起的呢?出现配置Windows Update…...
2022/11/19 21:17:10 - 电脑桌面一直是清理请关闭计算机,windows7一直卡在清理 请勿关闭计算机-win7清理请勿关机,win7配置更新35%不动...
只能是等着,别无他法。说是卡着如果你看硬盘灯应该在读写。如果从 Win 10 无法正常回滚,只能是考虑备份数据后重装系统了。解决来方案一:管理员运行cmd:net stop WuAuServcd %windir%ren SoftwareDistribution SDoldnet start WuA…...
2022/11/19 21:17:09 - 计算机配置更新不起,电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?
原标题:电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?win7系统中在开机与关闭的时候总是显示“配置windows update请勿关闭计算机”相信有不少朋友都曾遇到过一次两次还能忍但经常遇到就叫人感到心烦了遇到这种问题怎么办呢?一般的方…...
2022/11/19 21:17:08 - 计算机正在配置无法关机,关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机...
关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!关机提示 windows7 正在配…...
2022/11/19 21:17:05 - 钉钉提示请勿通过开发者调试模式_钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用...
钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用 更新时间:2020-04-20 22:24:19 浏览次数:729次 区域: 南阳 > 卧龙 列举网提醒您:为保障您的权益,请不要提前支付任何费用! 虚拟位置外设器!!轨迹模拟&虚拟位置外设神器 专业用于:钉钉,外勤365,红圈通,企业微信和…...
2022/11/19 21:17:05 - 配置失败还原请勿关闭计算机怎么办,win7系统出现“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”,长时间没反应,无法进入系统的解决方案...
前几天班里有位学生电脑(windows 7系统)出问题了,具体表现是开机时一直停留在“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”这个界面,长时间没反应,无法进入系统。这个问题原来帮其他同学也解决过,网上搜了不少资料&#x…...
2022/11/19 21:17:04 - 一个电脑无法关闭计算机你应该怎么办,电脑显示“清理请勿关闭计算机”怎么办?...
本文为你提供了3个有效解决电脑显示“清理请勿关闭计算机”问题的方法,并在最后教给你1种保护系统安全的好方法,一起来看看!电脑出现“清理请勿关闭计算机”在Windows 7(SP1)和Windows Server 2008 R2 SP1中,添加了1个新功能在“磁…...
2022/11/19 21:17:03 - 请勿关闭计算机还原更改要多久,电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机怎么办...
许多用户在长期不使用电脑的时候,开启电脑发现电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机。。.这要怎么办呢?下面小编就带着大家一起看看吧!如果能够正常进入系统,建议您暂时移…...
2022/11/19 21:17:02 - 还原更改请勿关闭计算机 要多久,配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以...
配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机&#x…...
2022/11/19 21:17:01 - 电脑配置中请勿关闭计算机怎么办,准备配置windows请勿关闭计算机一直显示怎么办【图解】...
不知道大家有没有遇到过这样的一个问题,就是我们的win7系统在关机的时候,总是喜欢显示“准备配置windows,请勿关机”这样的一个页面,没有什么大碍,但是如果一直等着的话就要两个小时甚至更久都关不了机,非常…...
2022/11/19 21:17:00 - 正在准备配置请勿关闭计算机,正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了解决教程...
当电脑出现正在准备配置windows请勿关闭计算机时,一般是您正对windows进行升级,但是这个要是长时间没有反应,我们不能再傻等下去了。可能是电脑出了别的问题了,来看看教程的说法。正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了方法一…...
2022/11/19 21:16:59 - 配置失败还原请勿关闭计算机,配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机...
我们使用电脑的过程中有时会遇到这种情况,当我们打开电脑之后,发现一直停留在一个界面:“配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机”,等了许久还是无法进入系统。如果我们遇到此类问题应该如何解决呢࿰…...
2022/11/19 21:16:58 - 如何在iPhone上关闭“请勿打扰”
Apple’s “Do Not Disturb While Driving” is a potentially lifesaving iPhone feature, but it doesn’t always turn on automatically at the appropriate time. For example, you might be a passenger in a moving car, but your iPhone may think you’re the one dri…...
2022/11/19 21:16:57