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有向图

有向图API设计

有向图的实现

拓扑排序

拓扑排序

 检测有向图中的环

基于深度优先的顶点排序

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有向图

有向图的定义及相关术语
定义∶
有向图是一副具有方向性的图，是由一组顶点和一组有方向的边组成的，每条方向的边都连着
一对有序的顶点。
出度∶
由某个顶点指出的边的个数称为该顶点的出度。

入度:
指向某个顶点的边的个数称为该顶点的入度。

有向路径︰
由一系列顶点组成，对于其中的每个顶点都存在一条有向边，从它指向序列中的下一个顶点。
有向环∶
—条至少含有一条边，且起点和终点相同的有向路径。

 一副有向图中两个顶点v和w可能存在以下四种关系:
1.没有边相连;
⒉存在从v到w的边v—>w;
3.存在从w到v的边w—>V;
4.既存在w到v的边，也存在v到w的边，即双向连接;

 理解有向图是一件比较简单的，但如果要通过眼睛看出复杂有向图中的路径就不是那么容易了。

有向图API设计

 在api中设计了一个反向图，其因为有向图的实现中，用adj方法获取出来的是由当前顶点v指向的其他顶点，如果能得到其反向图，就可以很容易得到指向v的其他顶点。

有向图的实现

// 有向图public class Digraph {// 记录顶点的数量private final int V;//记录边的数量private int E;//定义有向图的邻接表private Queue <Integer>[] adj;public Digraph (int v) {//初始化顶点数量this.V = v;//初始化边的数量this.E = 0;//初始化邻接表adj = new LinkedList[v];//初始化邻接表的空队列for (int i = 0; i < v; i++) {adj[i] = new LinkedList<>();}}public int V () {return V;}public int E () {return E;}//添加一条 v -> w的有向边public void addEage (int v , int w) {adj[v].add(w);++E;}//获取顶点v 指向的 所有顶点public Queue<Integer> adj (int v) {return adj[v];}//将有向图 反转 后返回public Digraph reverse () {//创建一个反向图Digraph reverseDigraph = new Digraph(V);//获取原来有向图的每个结点for (int i = 0; i < V; i++) {//获取每个结点 邻接表的所有结点for (Integer w : adj[i]) {//反转图记录下 w -> vreverseDigraph.adj(w).add(i);}}return reverseDigraph;}
}

拓扑排序
 

在现实生活中，我们经常会同一时间接到很多任务去完成，但是这些任务的完成是有先后次序的。以我们学习java学科为例，我们需要学习很多知识，但是这些知识在学习的过程中是需要按照先后次序来完成的。从java基础，到jsp/servlet，到ssm，到springboot等是个循序渐进且有依赖的过程。在学习jsp前要首先掌握java基础和html基础，学习ssm框架前要掌握jsp/servlet之类才行。

 为了简化问题，我们使用整数为顶点编号的标准模型来表示这个案例:

 此时如果某个同学要学习这些课程，就需要指定出一个学习的方案，我们只需要对图中的顶点进行排序，让它转换为一个线性序列，就可以解决问题，这时就需要用到一种叫拓扑排序的算法。

拓扑排序

给定一副有向图，将所有的顶点排序，使得所有的有向边均从排在前面的元素指向排在后面的元素，此时就可以明确的表示出每个顶点的优先级。下列是一副拓扑排序后的示意图︰

 检测有向图中的环

如果学习x课程前必须先学习y课程，学习y课程前必须先学习z课程，学习z课程前必须先学习x课程，那么一定是有问题了，我们就没有办法学习了，因为这三个条件没有办法同时满足。其实这三门课程x、y、z的条件组成了一个环︰

 因此，如果我们要使用拓扑排序解决优先级问题，首先得保证图中没有环的存在。

检测有向环的API设计
 

检测有向环实现

在API中添加了onStack[]布尔数组，索引为图的顶点，当我们深度搜索时︰
1.在如果当前顶点正在搜索，则把对应的onStack数组中的值改为true，标识进栈;
2.如果当前顶点搜索完毕，则把对应的onStack数组中的值改为false，标识出栈;
3.如果即将要搜索某个顶点，但该顶点已经在栈中，则图中有环;

 

 代码

/***  检查图中是否存在环*/
public class DirectedCycle {/*** 索引代表顶点，用来记录顶点是否被搜索过*/private boolean[] marked;/*** 判断图中是否有环*/private boolean hasCycle;/*** 采用栈的思想，记录当前顶点是否已经存在 当前搜索的的路径上* 存在则可以判断 图中是存在环的*/private boolean[] onStack;/*** 判断传入的有向图 是否存在环* @param G*/public DirectedCycle (Digraph G) {marked = new boolean[G.V()];onStack = new boolean[G.V()];hasCycle = false;//因为不知道从那个点出发 可能存在环//所以需要从所有的顶点都出发搜索 判断是否存在环for (int i = 0; i < G.V(); i++) {dfs(G,i);}}/*** 采用深度搜索 判断有向图是否存在环* onStack 入栈出栈 然后判断当前搜索的顶点是否已经在搜索路径上** @param G* @param v*/private void dfs (Digraph G,int v) {//标记顶点已经搜索过marked[v] = true;for (Integer adj : G.adj(v)) {//判断v 是否已经在搜索的路径上了if(marked[adj] && onStack[adj]) {//存在环hasCycle = true;}else {//采用回溯的思路//让顶点入栈onStack[adj] = true;dfs(G,adj);//回溯 顶点出栈onStack[adj] = false;}}}/*** 判断是否存在环* @return*/public boolean hasCycle(){return hasCycle;}}

基于深度优先的顶点排序

如果要把图中的顶点生成线性序列其实是一件非常简单的事，之前我们学习并使用了多次深度优先搜索，我们会发现其实深度优先搜索有一个特点，那就是在一个连通子图上，每个顶点只会被搜索一次，如果我们能在深度优先搜索的基础上，添加一行代码，只需要将搜索的顶点放入到线性序列的数据结构中，我们就能完成这件事。
顶点排序API设计

顶点排序实现

在API的设计中，我们添加了一个栈reversePost用来存储顶点，当我们深度搜索图时，每搜索完毕一个顶点，把该顶点放入到reversePost中，这样就可以实现顶点排序。

 

 

 

 代码:

/*** 深度优先搜索 的顶点排序*/
public class DepthFirstOrder {/*** 索引代表顶点 ，用来记录顶点是否已经被搜索过了*/private boolean[] marked;/*** 使用栈记录深度优先搜索下的顶点*/private Stack<Integer> reversePost;public DepthFirstOrder (Digraph G) {marked = new boolean[G.V()];reversePost = new Stack<>();for (int i = 0; i < G.V(); i++) {//如果顶点已经被搜索过则不用if(!marked[i])dfs(G,i);}}/*** 基于深度优先搜索，生成顶点线性序列* @param G* @param v*/private void dfs (Digraph G, int v) {//标记顶点已经被搜索过marked[v] =  true;for (Integer w : G.adj(v)) {if(!marked[w])dfs(G,w);}//记录到线性序列中reversePost.push(v);}/*** 获取顶点线性序列* @return*/private Stack<Integer> ReversePost() {return reversePost;}
}