先证明$a\to b$：
令$n_0=0$;

• 设$k=1$，因为$L$是$(a_n{)}_{n=0}^{\infty }$的极限点，则可以找到某个$n_1>n_0$使得$a_{n_1}$是$1-$接近于$L$的；
• 设$k=2$，因为$L$是$(a_n{)}_{n=0}^{\infty }$的极限点，则可以找到某个$n_2>n_1$使得$a_{n_2}$是$\frac{1}{2}-$接近于$L$的；

依次重复以上步骤我们得到一个序列
$$(a_{n_k}{)}_{k=0}^{\infty }=(a_{n_0},a_{n_1},a_{n_2},a_{n_3}......)$$
满足该序列的第$k(k>0)$项$a_{n_k}$是$\frac{1}{k}-$接近于$L$的；
现设$\epsilon >0$是任意实数，只要$k^{\prime }⩾\frac{1}{\epsilon }$，就有$a_{n_{k^{\prime }}}$是$\epsilon -$接近于$L$的。因此子序列
$$(b_k{)}_{k=0}^{\infty }=(a_{n_k}{)}_{k=0}^{\infty }$$
收敛到实数$L$。

再证明$b\to a$：
设$(a_{n_k}{)}_{k=0}^{\infty }$是收敛到$L$的子序列。
那么对于任意的$\epsilon >0$，存在$M⩾0$，使得当$n_k⩾M$时$a_{n_k}$是$\epsilon -$接近于$L$的。
对于每个$N⩾0$，令$m=max(M,N)$，则存在$n^{\prime }=n_{k^{\prime }}⩾m$，使得$a_{n^{\prime }}=a_{n_{k^{\prime }}}$是$\epsilon -$接近于$L$的，因此序列$(a_n{)}_{n=0}^{\infty }$是持续$\epsilon -$附着于$L$的，也就证明了$L$是$(a_n{)}_{n=0}^{\infty }$的极限点。