6.4 状态空间的分解

定义：设 $A\subset S$，若对任意 $i\in A$ 及 $j\notin A$，都有 $p_{ij}=0$，称 $A$ 为闭集。若 $A$ 的状态是相通的，则 $A$ 为不可约的。

引理 6.1：$A$ 为闭集的充要条件为：任意 $i\in A$ 及 $j\notin A$ 都有 $p_{ij}^{(n)}=0,n\ge 1$。

推论：若 $A$ 是闭集，对任意状态 $i\in A$ 恒有 ${\sum }_{j\in A}{p}_{ij}^{(n)}=1$。

定理 6.5：所有常返态构成一个闭集。

推论：不可约马尔科夫链，所有状态都是常返的，或者所有状态都是非常返的。

定理 6.6：状态空间 $S$ 可以分解为 $S=T\cup C=T\cup C_1\cdots \cup C_h\cdots$，其中 $T$ 表示非常返状态的集合，$C_i$ 为基本的常返闭集，且有

1. 对任一确定的 $k,C_k$ 中任意两个状态互通；
2. $C_k\cap C_l=\varnothing ,\forall h\ne l$。

定理 6.7：有限状态马尔科夫链具有如下性质：

1. 状态空间 $S$ 可分解为 $S=T\cup C=T\cup C_1\cdots \cup C_h$，其中 $T$ 表示非常返状态的集合，$C_i$ 为基本的常返闭集；
2. 非常返状态集合 $T$ 一定不是闭集；
3. 没有零常返状态；
4. 必有正常返状态；
5. 不可约马氏链的的状态都是正常返态；
6. 任意闭集 $C_i$ 上的 $n$ 步转移矩阵为随机矩阵。

6.5 极限特性与平稳分布

6.5.1 极限特性

定理 6.7：若状态 $j$ 为非常返态或零常返态，则对任意 $i\in S$，有 ${\lim }_{n\to \infty }{p}_{ij}^{(n)}=0$。

推论 6.7.1：若马尔科夫链有一个零常返态，则必有无穷多个零常返态。

6.5.2 平稳分布

定义：一个定义在 $S$ 上的概率分布 $\pi =({\pi }_1,{\pi }_2,...,{\pi }_i,...)$ 称为马尔科夫链的平稳分布，如果有 $\pi =\pi P$。

定理 6.9：若马尔科夫链是不可约的遍历链，则 {πi=1/μi}\{\pi_i = 1 / \mu_i\}{πi​=1/μi​} 是 $\pi =\pi P({\pi }_i\ge 0,{\sum }_{i\in S}{\pi }_i=1)$ 的唯一解。

推论 6.9.1：不可约遍历链恒有唯一的平稳分布，且 ${\pi }_j={\lim }_{n\to \infty }{p}_{ij}^{(n)}$。

定理 6.10：令 $C_{+}$ 为马尔科夫链中全体正常返状态构成的集合，则有

1. 平稳分布不存在的充要条件为 $C_{+}=\varnothing$；
2. 平稳分布唯一存在的充要条件为只有一个基本正常返闭集；
3. 若马尔科夫链有多于一个基本正常返闭集，则其平稳分布有无穷多个。

定理 6.11：关于有限状态的马尔科夫链

1. 有限状态马尔科夫链的平稳分布总存在；
2. 有限不可约非周期的马尔科夫链存在唯一的平稳分布；
3. 若有多于一个基本正常返闭集，则其平稳分布有无穷多个；

栗子（平衡方程及其应用）：对非周期正常返的离散马氏链，平稳分布存在且满足 $\pi P=\pi$，可以写成 ${\pi }_j(1-P_{jj})={\sum }_{i\ne j,i\in S}{\pi }_i{P}_{ij}$，这被称为离散马氏链的平衡方程。左边表示从状态 $j$ 流出的量，右边表示从其他状态流入状态 $j$ 的量，在讨论一些实际工程问题时，可以借助平衡方程求解系统平稳分布。

6.6 转移矩阵的平均极限

一般情况下，$n\to \infty$ 时 $P^n$ 的极限未必存在，主要是因为 $P^n$ 可能有周期性。为了消除周期性，最直接的方法就是取平均。

定理 6.12：设 $P$ 为有限马氏链的转移矩阵，则 $L:={\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{n}(I+P+\cdots +P^{n-1})$ 存在，且满足 $LP=PL=L=L^2$。

推论：设有限不可约马氏链的转移矩阵为 $P$，平稳分布为 $\pi$，$L=(l_{ij})={\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{n}(I+P+\cdots +P^{n-1})$，则 $\pi L=\pi$，且 ${\pi }_j=l_{ij}/{\sum }_{k=1}^N{l}_{ik}$。

定理 6.13：设 $P$ 是有 $m$ 个状态的不可约马氏链的转移矩阵，则平稳分布概率为

$\pi =(1,...,1)(I-P+1{)}^{-1}$，其中 $1$ 为全 1 的 $m\times m$ 矩阵。

证明：关键是要证明矩阵 $(I-P+1)$ 可逆。

Note：马尔科夫链在随机过程里面是比较简单的部分，大部分结论都很直观，凭直观感觉就能得到。

实际上这章马尔科夫链的主要内容就是在讨论几种状态：非常返态、正常返态、零常返态。归结起来，现在想象一个马尔可夫链的状态转移图，有很多节点（状态）和有向边（转移概率）。

首先对于几种状态的区别：

1. 正常返态就是说从一个状态开始，经过有限步总能再次回到当前状态，并且这个平均回转时间是有限的（中华好男人，常回家看看）；
2. 零常返态就是说从一个状态开始，经过有限步总能再次回到当前状态，但这个平均回转时间是无穷的（渣男海王，开空头支票）；
3. 非常返态就是说从一个状态开始，经过有限步之后就再也不能返回当前状态了（恩断义绝）；

如何判断每个节点的状态类型，基本只需要下面两条原则：

1. 如果两个状态相通，那么他们同为常返态或非常返态。
   1. 那么如果两个节点之间有双向边，他们一定是同一类型态；要出现常返态和非常返态的区别一定是由于单向边的存在；
   2. 进一步的，一个连通子图里面的所有状态一定是同一类型；要出现常返态和非常返态的区别，一定是两个连通子图 $A,B$ 之间只有单向边；
   3. 假如只有 $A$ 到 $B$ 的单向边，那么连通子图 $B$ 中的节点一定都是非常返态。
2. 零常返态只可能出现在状态个数为无穷的时候。

极限分布/平稳分布是怎样：

1. 极限分布与初始分布有关，平稳分布只与状态转移链本身的性质有关；
2. 由于最终一定会收敛到常返态，平稳分布一定是只对常返态非零；
3. 只考虑常返态的集合，平稳分布就是转移概率矩阵 $P$ 的左特征向量；

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