一、lowbit运算

定义： lowbit(x)=x&(-x)。
那么这个式子是什么意思呢？先来看-x从二进制的角度发生了什么。我们在计组中了解过，整数在计算机一般通过补码储存，并且一个补码表示的整数x变成其相反数-x的过程相当于把x的二进制的每一位都取反，然后末尾加1。而这等价于直接把x的二进制最右边的1的左边每一位都取反。例子如下：

x	0000001101001 100
-x	1111110010110 100
x&(-x)	0000000000000 000
对x=(0000001101001100)2来说，最右边的1是在2号位，因此把它左边的所有位全部取反。通过-x就容易推导出lowbit(x)=x&(-x)就是取x的二进制最右边的1和它右边所有0，因此它一定是2的幂次，如1、2、4、8等。例如对x=6=(110)2来说，x&(-x)=(010)2。即lowbit(x)也可以理解为能整除x的最大2的幂次。

二、树状数组及其应用

先来看一个问题：给出一个整数序列A，元素个数为N(N≤10⁵),接下来查询K(K≤10⁵)次，每次查询将给出一个正整数x（x≤N），求前x个整数和。
对于这个问题一般做法就是开一个sum数组，其中sum[i]表示前i个整数之和(数组下标从1开始)，这样sum数组就可以在输入N个整数时就预处理出来。接着每次查询前x个整数之和，输出时，输出sum[x]即可。
现在升级一下问题，假设在查询的过程中可能随时给第x个整数加上一个整数v，要求在后才想你中能实时输出前x个整数之和。
对于这个问题，如果还是之前的做法，虽然单次查询的时间复杂度仍为O(1)，但在进行更新时却需要给sum[x],sum[x+1]……sum[N]都加上整数v，这使得单次更新的时间复杂度为O(N)，那么如果K次操作中大部分都是更新操作，操作的总复杂度就会使O(KN),显然无法承受。那要怎么办呢？
当当当！这边引入了我们本文的核心树状数组(BIT)。它其实仍然是一个数组，并且与sum数组类似，是一个用来记录和的数组，只不过它存放的不是前i个整数之和，而是在i号位之前（含i号位）lowbit(i)之和。
数组A使原始数组，有A[1]~A[16]共16个元素；数组C是树状数组，其中C[i]存放数组A中i号位之前lowbit(i)个元素之和（到这里各位可以淡化二进制的概念，不必过分关心)

C[i]的覆盖长度是lowbit(i)，它是2的幂次，即1、2、4、8等。

接下来思考一下，在这样的定义下，怎样解决下面两个问题：

1. 设计函数getSum(x),返回前x个数之和A[1]+…+A[x]。
2. 设计函数update(x,v)，实现将第x个数加上一个数v的功能，即A[x]+=v。

先来看第一个问题，如何设计函数getSum(x)，返回前x个数之和。

假设想要查询A[1]+…+A[14]，那么从树状数组的定义出发，它实际是什么东西呢？我们很容易发现A[1]+…+A[14]=C[8]+C[12]+C[14],又比如要查询A[1]+…A[11],从图中同样可以得到A[1]+…A[11]=C[8]+C[10]+C[11]。那么怎样知道A[1]+…+A[x]对应的是树状数组中的哪些项？可通过如下方法：

记SUM(1,x)=A[1]+…+A[x]，由于C[x]的覆盖长度为lowbit(x)，因此C[x]=A[x-lowbit(x)+1]+…A[x]

于是马上可以得到

SUM(1,x)=A[1]+…+A[x]

=A[1]+…A[x-lowbit(x)]+A[x-lowbit(x)+1]+…+A[x]

=SUM(1,x-lowbit(x))+C[x]

这样就把SUM(1,x)转换为SUM(1,x-lowbit(x))了

下面给出getsum函数：

//getSum函数返回前x个整数之和
int getSum(int x){int sum=0;for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i)){//注意是i>0而不是i>=0sum+=c[i];//累计c[i]，然后把问题缩小为SUM(1,i-lowbit(i))}return sum;//返回和
}

结合上面几个图就会发现，getSum函数的过程实际上是在沿着一条不断左上的路径行进。另外如果要求数组下标在区间[x,y]内的数之和，即A[x]+A[x+1]+……+A[y],可以转换成getSum(y)-getSum(x-1)来解决。

下面来设计第二个问题，如何设计update(x,v)，实现将第x个数加上一个数v的功能。

要让A[x]加上v，就是要寻找树状数组c中能覆盖A[x]的那些元素，让它们都加上v，只要总是寻找离当前的“矩形”C[x]最近的“矩形”C[y]，使得C[y]能狗覆盖C[x]即可。

那么，如何找到呢？问题等价于求一个尽可能小的整数a，使得lowbit(y)必须大于lowbit(x)。显然，由于lowbit(x)是取x的二进制最右边的1的位置，因此如果lowbit(a)<lowbit(x)，lowbit(x+a)就会小于lowbit(x)。为此lowbit(a)必须不小于lowbit(x)。接着发现，当a取lowbit(x)时，由于x和a的二进制最右边的1的位置相同，因此x+a会在这个1的位置上产生进位，使得进位过程中的所有连续的1变成0，直到把它们左边第一个0置为1时结束。于是lowbit(x+a)>lowbit(x)显然成立，最小的a就是lowbit(x)。

于是update函数的做法就很明确了，只要让x不断加上lowbit(x)，并让每步的C[x]都加上v，直到x超过给定的数据范围为止

//update函数将第x个整数加上v
void update(int x,int y){for(int i=x;i<=N;i+=lowbit(i)){//注意i必须能取到Nc[i]+=v;//让c[i]加上v，然后让c[i+lowbit(i)]加上v}
}

这便是树状数组最核心的两个代码思想了，下面看一个经典问题

给定一个有N个正整数的序列A(<=10⁵,A[i]<=10⁵)，对序列中的每个数，求出序列中它左边比它小的数的个数。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=100010;
#define lowbit(i) ((i)&(-i))   //lowbit写成宏定义的形式
int c[maxn];	//树状数组
//update函数将第x个整数加上v
void update(int x,int v){for(int i=x;i<maxn;i+=lowbit(i)){//i<maxn或者i<=nc[i]+=v;//让c[i]加上v，然后让c[i+lowbit(i)]加上v}
}
//getSum函数返回前x个整数之和
int getSum(int x){int sum=0;for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i)){	//注意是i>0而不是i>=0sum+=c[i];//累计c[i]，然后把问题缩小为SUM(1,i-lowbit(i))}return sum;//返回和
}
int main(){int n,x;cin>>n;memset(c,0,sizeof(c));//树状数组初值为0for(int i=0;i<n;i++){cin>>x;update(x,i);//x的出现次数加1}return 0;
}