DP动态规划入门(一)
思想:
「分治思想」、「空间换时间」、「最优解」等多种算法思想
动态规划特点:
「分治」是算法中的一种基本思想,其通过将原问题分解为子问题,不断递归地将子问题分解为更小的子问题,并通过组合子问题的解来得到原问题的解。
类似于分治算法,「动态规划」也通过组合子问题的解得到原问题的解。不同的是,适合用动态规划解决的问题具有「重叠子问题」和「最优子结构」两大特性。
重叠子问题
动态规划的子问题是有重叠的,即各个子问题中包含重复的更小子问题。若使用暴力法穷举,求解这些相同子问题会产生大量的重复计算,效率低下。
动态规划在第一次求解某子问题时,会将子问题的解保存;后续遇到重叠子问题时,则直接通过查表获取解,保证每个独立子问题只被计算一次,从而降低算法的时间复杂度。
斐波那契数列(重叠子问题示例)
「暴力递归」→→「记忆化递归」→→「动态规划」
int fibonacci(int n) {if (n == 0) return 0; // 返回 f(0)if (n == 1) return 1; // 返回 f(1)return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2); // 分解为两个子问题求解
}
记忆递归:一个函数初始化数组存储数值,一个函数返回
int fibonacci(int n, vector<int> dp)
{if (n == 0) return 0; // 返回 f(0)if (n == 1) return 1; // 返回 f(1)if (dp[n] != 0) return dp[n]; // 若 f(n) 以前已经计算过,则直接返回记录的解dp[n] = fibonacci(n - 1, dp) + fibonacci(n - 2, dp); // 将 f(n) 则记录至 dpreturn dp[n];
}// 求第 n 个斐波那契数
int fibonacciMemorized(int n)
{vector<int> dp(n + 1, 0); // 用于保存 f(0) 至 f(n) 问题的解return fibonacci(n, dp);
}
动态递归**
这个就很妙,看起来像是和前面的一样,实则就是利用一个数组来实现状态转移
// 求第 n 个斐波那契数
int fibonacci(int n) {if (n == 0) return 0; // 若求 f(0) 则直接返回 0vector<int> dp(n + 1, 0); // 初始化 dp 列表dp[1] = 1; // 初始化 f(0), f(1)for (int i = 2; i <= n; i++) { // 状态转移求取 f(2), f(3), ..., f(n) dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];}return dp[n]; // 返回 f(n)
}
/
上述动态规划解法借助了一个 dp 数组保存子问题的解,其空间复杂度为 O(N)
而由于 f(n) 只与 f(n−1) 和 f(n−2) 有关,因此我们可以仅使用两个变量 a , b 交替前进计算即可。此时动态规划的空间复杂度降低至 O(1)
// 求第 n 个斐波那契数
int fibonacci(int n) {if (n == 0) return 0; // 若求 f(0) 则直接返回 0int a = 0, b = 1; // 初始化 f(0), f(1)for (int i = 2; i <= n; i++) { // 状态转移求取 f(2), f(3), ..., f(n) int tmp = a;a = b;b = tmp + b;}return b; // 返回 f(n)
}
这里第二种方法已经有点失去KISS了,因为他已经把简单的思想给优化了一下利用O(1)空间,可能稍微有点看不懂,自己在纸上画几下就懂啦
「以上内容参考《算法导论》与《算法与数据结构》」
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钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用 更新时间:2020-04-20 22:24:19 浏览次数:729次 区域: 南阳 > 卧龙 列举网提醒您:为保障您的权益,请不要提前支付任何费用! 虚拟位置外设器!!轨迹模拟&虚拟位置外设神器 专业用于:钉钉,外勤365,红圈通,企业微信和…...
2022/11/19 21:17:05 - 配置失败还原请勿关闭计算机怎么办,win7系统出现“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”,长时间没反应,无法进入系统的解决方案...
前几天班里有位学生电脑(windows 7系统)出问题了,具体表现是开机时一直停留在“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”这个界面,长时间没反应,无法进入系统。这个问题原来帮其他同学也解决过,网上搜了不少资料&#x…...
2022/11/19 21:17:04 - 一个电脑无法关闭计算机你应该怎么办,电脑显示“清理请勿关闭计算机”怎么办?...
本文为你提供了3个有效解决电脑显示“清理请勿关闭计算机”问题的方法,并在最后教给你1种保护系统安全的好方法,一起来看看!电脑出现“清理请勿关闭计算机”在Windows 7(SP1)和Windows Server 2008 R2 SP1中,添加了1个新功能在“磁…...
2022/11/19 21:17:03 - 请勿关闭计算机还原更改要多久,电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机怎么办...
许多用户在长期不使用电脑的时候,开启电脑发现电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机。。.这要怎么办呢?下面小编就带着大家一起看看吧!如果能够正常进入系统,建议您暂时移…...
2022/11/19 21:17:02 - 还原更改请勿关闭计算机 要多久,配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以...
配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机&#x…...
2022/11/19 21:17:01 - 电脑配置中请勿关闭计算机怎么办,准备配置windows请勿关闭计算机一直显示怎么办【图解】...
不知道大家有没有遇到过这样的一个问题,就是我们的win7系统在关机的时候,总是喜欢显示“准备配置windows,请勿关机”这样的一个页面,没有什么大碍,但是如果一直等着的话就要两个小时甚至更久都关不了机,非常…...
2022/11/19 21:17:00 - 正在准备配置请勿关闭计算机,正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了解决教程...
当电脑出现正在准备配置windows请勿关闭计算机时,一般是您正对windows进行升级,但是这个要是长时间没有反应,我们不能再傻等下去了。可能是电脑出了别的问题了,来看看教程的说法。正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了方法一…...
2022/11/19 21:16:59 - 配置失败还原请勿关闭计算机,配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机...
我们使用电脑的过程中有时会遇到这种情况,当我们打开电脑之后,发现一直停留在一个界面:“配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机”,等了许久还是无法进入系统。如果我们遇到此类问题应该如何解决呢࿰…...
2022/11/19 21:16:58 - 如何在iPhone上关闭“请勿打扰”
Apple’s “Do Not Disturb While Driving” is a potentially lifesaving iPhone feature, but it doesn’t always turn on automatically at the appropriate time. For example, you might be a passenger in a moving car, but your iPhone may think you’re the one dri…...
2022/11/19 21:16:57