数据结构与算法【Python实现】(九)动态规划
一、斐波那契数列
Fn =Fn-1 + Fn-2
#子问题的重新计算
def fabnacci(n):if n == 1 or n == 2:return 1else:return fabnacci(n-1)+fabnacci(n-2)#非递归算法:动态规划思想DP
def fabnacci_no_rec(n):f = [0,1,1]if n >= 2:for i in range(n-2):num = f[-1]+f[-2]f.append(num)return f[n]
动态规划:最优子结构→递归式
二、钢条切割问题
1、自顶向下递归实现
某公司出售钢条,出售价格与钢条长度之间的关系如下表:
现有一段长度为n的钢条和上面的价格表,求切割钢条方案,使总收益最大
长度为n的钢条 有 2^(n-1)种切割方案
(1)递推式:
设长度为n的钢条最优收益为r_n,递推式为
r_n = max(p_n, r_1+r_n-1, r_2+r_n-2, r_3+r_n-3……, r_n-1+r_1)
p_n表示不切割
其他n-1个参数分别表示另外n-1种不同切割方案,对方案 i=1,2…,n-1:
将钢条分为长度为 i 和n-i两段
方案 i 的收益为切割两段的最有收益之和
考察所有的 i ,选择其中收益最大的方案
(2)简化递推式:
从钢条的左边切割下长度为 i 的一段,只对右边剩下的一段继续进行切割,左边的不再切割
递推式简化为:r_n = max(p_i + r_n-1) 1 <= i <= n-i
print(cut_rad_rec_1(p,9))
不做切割的方案可以描述为:左边一段长度为n,收益为p_n,剩余一段长度为0,收益为r_0=0
最优子结构:
可以将求解规模为n的原问题,划分为规模更小的子问题:完成一次切割后,可以将产生的两段钢条看成两个独立的钢条切割问题。
组合两个子问题的最优解,并在所有可能的两段切割方案中选取组合收益最大的,构成原问题的最优解。
钢条切割问题满足最优子结构:问题的最优解由相关子问题的最优解组合而成,这些子问题可以独立求解。
方法一:简化前写法
p = [0, 1, 5, 8, 9, 10, 17, 17, 20, 24, 30]def cut_rod_rec_1(p, n):if n== 0:return 0else:res = p[n]for i in range(1,n):res = max(res, cut_rod_rec_1(p,i) + cut_rod_rec_1(p,n-i))return resprint(cut_rod_rec_1(p,9))
方法二:简化后写法
def cut_rod_rec_2(p, n):if n == 0:return 0else:res = 0for i in range(1,n+1):res = max(res, p[i] + cut_rod_rec_2(p,n-i))return res
速度更快
自顶向下递归实现效率差:时间复杂度 O(2^n)
2、动态规划解法——自底向上实现
递归算法由于重复求解相同子问题,效率极低
动态规划的思想:
每个子问题只求解一次,保存求解结果
之后需要此问题时,只需查找保存的结果
先算r_1, 存起来,再算r_2……
def cut_rod_dp(p, n):r = [0]for i in range(1, n+1):res = 0for j in range(1, i+1):res = max(res, p[j] + r[i-j])r.append(res)return r[n]
时间复杂度 O(n^2)
3、重构解
如何输出最优切割方案?
——对于每个子问题,保存切割一次时左边切下的长度
def cut_rod_extend(p, n):r = [0]s = [0]for i in range(1, n+1):res_r = 0 #记录价格最大值res_s = 0 #记录最优切割处for j in range(1, i+1):if p[j] + r[i-j] > res_r:res_r = p[j] + r[i-j]res_s = jr.append(res_r)s.append(res_s)return r[n], sdef cut_rod_solution(p, n):r, s = cut_rod_extend(p, n)ans = [] #存放最终切割方案while n > 0:ans.append(s[n])n -= s[n]return r, ans
什么问题可以使用动态规划?
1、量化子结构
原问题的最优解中涉及多少个子问题
在确定最优解使用哪些子问题时,需要考虑多少种选择
2、重叠子问题
三、最长公共子序列(LCS)
一个序列的子序列是在该序列中删去若干元素后得到的序列
最长公共子序列(LCS)问题:给定两个序列X和Y,求X和Y长度最大的公共子序列。
例如:X=“ABBCBDE” Y="DBBCDB" LCS(X,Y)="BBCD"
应用场景:字符串相似度比对
暴力穷举时间复杂度: 2^(m+n) , m、n为两个序列的长度
LCS是否具有动态规划的最优子结构性质?
最后结果就是 c[m, n]
def lcs(x,y):m = len(x)n = len(y)c = [[0 for _ in range(n + 1)] for _ in range(m + 1)] #m+1 * n+1 初始化都是0b = [[0 for _ in range(n + 1)] for _ in range(m + 1)] #记录方向箭头 1左上方 2上方 3左方for i in range(1, m+1):for j in range(1, n+1):if x[i-1] == y[j-1]: #i j上的字符相等 匹配c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1b[i][j] = 1elif c[i-1][j] > c[i][j-1]: #i j上的字符不相等 不匹配 从上方来c[i][j] = c[i-1][j]b[i][j] = 2else: #从左方来c[i][j] = c[i][j-1]b[i][j] = 3return c[m][n], bdef lcs_trackback(x, y):c, b = lcs(x, y)i = len(x)j = len(y)res = [] #存放最长公共子序列while i > 0 and j > 0:if b[i][j] == 1: #来自左上方 说明该位置字符匹配res.append(x[i-1])i -= 1j -= 1elif b[i][j] == 2: #来自上方i -= 1else: #来自左方j -= 1return "".join(reversed(res))x = "ABCBDAB"
y = "BDCABA"
c, b = lcs(x,y)
print(lcs_trackback(x, y))
<可能有多个最长公共子序列>
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置信有很多用户都跟小编一样遇到过这样的问题,电脑时发现开机屏幕显现“正在配置Windows Update,请勿关机”(如下图所示),而且还需求等大约5分钟才干进入系统。这是怎样回事呢?一切都是正常操作的,为什么开时机呈现“正…...
2022/11/19 21:17:13 - 准备配置windows 请勿关闭计算机 蓝屏,Win7开机总是出现提示“配置Windows请勿关机”...
Win7系统开机启动时总是出现“配置Windows请勿关机”的提示,没过几秒后电脑自动重启,每次开机都这样无法进入系统,此时碰到这种现象的用户就可以使用以下5种方法解决问题。方法一:开机按下F8,在出现的Windows高级启动选…...
2022/11/19 21:17:12 - 准备windows请勿关闭计算机要多久,windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机怎么办...
有不少windows10系统用户反映说碰到这样一个情况,就是电脑提示正在准备windows请勿关闭计算机,碰到这样的问题该怎么解决呢,现在小编就给大家分享一下windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机的具体第一种方法:1、2、依次…...
2022/11/19 21:17:11 - 配置 已完成 请勿关闭计算机,win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机”的解决方法...
今天和大家分享一下win7系统重装了Win7旗舰版系统后,每次关机的时候桌面上都会显示一个“配置Windows Update的界面,提示请勿关闭计算机”,每次停留好几分钟才能正常关机,导致什么情况引起的呢?出现配置Windows Update…...
2022/11/19 21:17:10 - 电脑桌面一直是清理请关闭计算机,windows7一直卡在清理 请勿关闭计算机-win7清理请勿关机,win7配置更新35%不动...
只能是等着,别无他法。说是卡着如果你看硬盘灯应该在读写。如果从 Win 10 无法正常回滚,只能是考虑备份数据后重装系统了。解决来方案一:管理员运行cmd:net stop WuAuServcd %windir%ren SoftwareDistribution SDoldnet start WuA…...
2022/11/19 21:17:09 - 计算机配置更新不起,电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?
原标题:电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?win7系统中在开机与关闭的时候总是显示“配置windows update请勿关闭计算机”相信有不少朋友都曾遇到过一次两次还能忍但经常遇到就叫人感到心烦了遇到这种问题怎么办呢?一般的方…...
2022/11/19 21:17:08 - 计算机正在配置无法关机,关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机...
关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!关机提示 windows7 正在配…...
2022/11/19 21:17:05 - 钉钉提示请勿通过开发者调试模式_钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用...
钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用 更新时间:2020-04-20 22:24:19 浏览次数:729次 区域: 南阳 > 卧龙 列举网提醒您:为保障您的权益,请不要提前支付任何费用! 虚拟位置外设器!!轨迹模拟&虚拟位置外设神器 专业用于:钉钉,外勤365,红圈通,企业微信和…...
2022/11/19 21:17:05 - 配置失败还原请勿关闭计算机怎么办,win7系统出现“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”,长时间没反应,无法进入系统的解决方案...
前几天班里有位学生电脑(windows 7系统)出问题了,具体表现是开机时一直停留在“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”这个界面,长时间没反应,无法进入系统。这个问题原来帮其他同学也解决过,网上搜了不少资料&#x…...
2022/11/19 21:17:04 - 一个电脑无法关闭计算机你应该怎么办,电脑显示“清理请勿关闭计算机”怎么办?...
本文为你提供了3个有效解决电脑显示“清理请勿关闭计算机”问题的方法,并在最后教给你1种保护系统安全的好方法,一起来看看!电脑出现“清理请勿关闭计算机”在Windows 7(SP1)和Windows Server 2008 R2 SP1中,添加了1个新功能在“磁…...
2022/11/19 21:17:03 - 请勿关闭计算机还原更改要多久,电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机怎么办...
许多用户在长期不使用电脑的时候,开启电脑发现电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机。。.这要怎么办呢?下面小编就带着大家一起看看吧!如果能够正常进入系统,建议您暂时移…...
2022/11/19 21:17:02 - 还原更改请勿关闭计算机 要多久,配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以...
配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机&#x…...
2022/11/19 21:17:01 - 电脑配置中请勿关闭计算机怎么办,准备配置windows请勿关闭计算机一直显示怎么办【图解】...
不知道大家有没有遇到过这样的一个问题,就是我们的win7系统在关机的时候,总是喜欢显示“准备配置windows,请勿关机”这样的一个页面,没有什么大碍,但是如果一直等着的话就要两个小时甚至更久都关不了机,非常…...
2022/11/19 21:17:00 - 正在准备配置请勿关闭计算机,正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了解决教程...
当电脑出现正在准备配置windows请勿关闭计算机时,一般是您正对windows进行升级,但是这个要是长时间没有反应,我们不能再傻等下去了。可能是电脑出了别的问题了,来看看教程的说法。正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了方法一…...
2022/11/19 21:16:59 - 配置失败还原请勿关闭计算机,配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机...
我们使用电脑的过程中有时会遇到这种情况,当我们打开电脑之后,发现一直停留在一个界面:“配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机”,等了许久还是无法进入系统。如果我们遇到此类问题应该如何解决呢࿰…...
2022/11/19 21:16:58 - 如何在iPhone上关闭“请勿打扰”
Apple’s “Do Not Disturb While Driving” is a potentially lifesaving iPhone feature, but it doesn’t always turn on automatically at the appropriate time. For example, you might be a passenger in a moving car, but your iPhone may think you’re the one dri…...
2022/11/19 21:16:57