[XJTUSE DATABASE]——第二章 关系模型

一、基本概念

关系模型三要素

基本结构：关系/表

基本操作：Relation Operator

基本的：选择，投影，并，差，笛卡尔积

扩展的：交、连接、除

完整性约束：实体完整性、参照完整性和用户自定义的完整性

如何定义关系

1️⃣ 首先定义“列”的取值范围“域(Domain)”

一组值的集合，这组值具有相同的数据类型

如整数的集合、字符串的集合、全体学生的集合

再如, 由8位数字组成的数字串的集合，由0到100组成的整数集合

集合中元素的个数称为域的基数(Cardinality)

不同的列可来自同一个域，称其中的每一列为一个属性，不同的属性要给予不同的属性名。

2️⃣ 再定义“元组”及所有可能组合成的元组：笛卡尔积

一组域D1 , D2 ,…, Dn的笛卡尔积为:

D1×D2×…×Dn={(d1,d2,…,dn)∣di∈Di,i=1,…,n}D1×D2×…×Dn = \{ (d1 , d2 , … , dn) | di∈Di , i=1,…,n \}D1×D2×…×Dn={(d1,d2,…,dn)∣di∈Di,i=1,…,n}

笛卡尔积的每个元素(d1 , d2 , … , dn)称作一个n元组（行）

若Di的基数为mi，则笛卡尔积的基数，即元组个数为$ m_1\times m_2\times …\times m_n$

3️⃣ 关系

一组域D1 , D2 ,…, Dn的笛卡尔积的子集。

笛卡尔积中具有某一方面意义的那些元组（行）被称作一个关系(Relation)。

由于关系的不同列可能来自同一个域，为区分，需要为每一列起一个名字，该名字即为属性名。

关系可用$R(A_1:D_1,A_2:D_2,\dots ,A_n:D_n)$表示，可简记为$R(A_1,A_2,\dots ,A_n)$，这种描述又被称为关系模式(Schema)或表标题(head)

R是关系的名字, Ai 是属性, Di 是属性所对应的域, n是关系的元或目(degree), 关系中元组的数目称为关系的基数(Cardinality)

例如下图的关系为3元(目)关系，描述为：

家庭(丈夫:男人，妻子:女人,子女:儿童)或家庭(丈夫，妻子, 子女)

重要概念

关系模式与关系

同一关系模式下，可有很多的关系。

关系模式是关系的结构, 关系是关系模式在某一时刻的数据。

关系模式是稳定的；而关系是某一时刻的值，是随时间可能变化的。**

候选码(Candidate Key)/候选键

关系中的一个属性组，其值能唯一标识一个元组，若从该属性组中去掉任何一个属性，它就不具有这一性质了，这样的属性组称作候选码。

例如：“学生(S#, Sname, Sage, Sclass)”，S#就是一个候选码，在此关系中，任何两个元组的S#是一定不同的，而这两个元组的Sname, Sage, Sclass都可能相同(同名、同龄、同班)，所以S#是候选码。

再如：“选课(S#, C#, Sname, Cname, Grade)”，(S#,C#)联合起来是一个候选码

有时，关系中有很多组候选码

主码(Primary Key)/主键

当有多个候选码时，可以选定一个作为主码。

DBMS以主码为主要线索管理关系中的各个元组。

例如可选定属性S#作为“学生”表的主码，也可以选定属性组(Sname, Saddress)作为“学生”表的主码。选定EmpID为Employee的主码。

主属性与非主属性

包含在任何一个候选码中的属性被称作主属性，而其他属性被称作非主属性

如 “选课”中的S# , C#为主属性，而Sname则为非主属性；

最简单的，候选码只包含一个属性

最极端的，所有属性构成这个关系的候选码，称为全码(All-Key)。

比如：关系“教师授课”(T#,C#)中的候选码(T#,C#)就是全码。

外码(Foreign Key)/外键

关系R中的一个属性组，它不是R的候选码，但它与另一个关系S的候选码相对应，则称这个属性组为R的外码或外键。

例如“合同”关系中的客户号不是候选码，但却是外码。因它与“客户”关系中的候选码“客户号” 相对应。

两个关系通常是靠外码连接起来的。

关系模型中的完整性

实体完整性

关系的主码中的属性值不能为空值；

空值：不知道或无意义的值；

意义：关系中的元组对应到现实世界相互之间可区分的一个个个体，这些个体是通过主码来唯一标识的；若主码为空，则出现不可标识的个体，这是不容许的

参照完整性

如果关系R1的外码Fk与关系R2的主码Pk相对应，则R1中的每一个元组的Fk值或者等于R2 中某个元组的Pk 值，或者为空值。

意义：如果关系R1的某个元组t1参照了关系R2的某个元组t2，则t2必须存在

例如关系Student在D#上的取值有两种可能:

空值，表示该学生尚未分到任何系中。

若非空值，则必须是Dept关系中某个元组的D#值，表示该学生不可能分到一个不存在的系中

用户自定义完整性

用户针对具体的应用环境定义的完整性约束条件

如S#要求是10位整数，其中前四位为年度，当前年度与他们的差必须在4以内

二、关系代数运算

关系代数操作：集合操作和纯关系操作

某些关系代数操作，如并、差、交等，需满足“并相容性”

参与运算的两个关系及其相关属性之间有一定的对应性、可比性或意义关联性

定义：关系R与关系S存在相容性，当且仅当：

(1) 关系R和关系S的属性数目必须相同；

(2) 对于任意i，关系R的第i个属性的域必须和关系S的第i个属性的域相同

​ 假设：R(A1, A2, … , An) , S(B1, B2, … ,Bm)

​ R和S满足并相容性：n = m 并且 Domain(Ai) = Domain(Bi)

关系代数基本操作

并Union

定义：假设关系R和关系S是并相容的，则关系R与关系S的并运算结果也是一 个关系，记作：R ∪S, 它由或者出现在关系R中，或者出现在S中的元组构成。

数学描述： KaTeX parse error: Undefined control sequence: \or at position 24: …=\{ t | t\in R \̲o̲r̲ ̲t\in S \} ，其中t是元组

并运算是将两个关系的元组合并成一个关系，在合并时去掉重复的元组。

R ∪S 与 S ∪R 运算的结果是同一个关系

示例如下：查询或者参加体育队或者参加文艺队所有学生的信息

差Difference

定义：假设关系R 和关系S是并相容的，则关系R 与关系S 的差运算结果也是一个关系，记作：R - S, 它由出现在关系R中但不出现在关系S中的元组构成。

数学描述： KaTeX parse error: Undefined control sequence: \or at position 21: …=\{ t | t\in R \̲o̲r̲ ̲t\notin S \} ，其中t是元组

R - S 与 S - R 是不同的

示例：

查询只参加体育队而未参加文艺队的学生信息

查询只参加文艺队而未参加体育队的学生信息

广义笛卡尔积 Cartesian Product

定义：关系R (<a1 , a2, …, an >) 与关系S(<b1, b2, …, bm >) 的广义笛卡尔积 (简称广义积,或 积 或笛卡尔积) 运算结果也是一个关系，记作： R x S, 它由关系R中的元组与关系S的元组进行所有可能的拼接(或串接)构成。

数学描述：$ R \times S ={ <a_1 , a_2, …, a_n, b_1, b_2, …, b_m> | <a_1 , a_2, …, a_n > \in R \and <b_1, b_2, …, b_m> \in S }$

示例：

选择Select

定义：给定一个关系R, 同时给定一个选择的条件condition(简记con), 选择运算结果也是一个关系，记作${\sigma }_{con}(R)$ , 它从关系R中选择出满足给定条件condition的元组构成。

数学描述：KaTeX parse error: Undefined control sequence: \and at position 29: …(R)=\{t|t\in R \̲a̲n̲d̲ ̲con(t)='true'\}

设$R(A_1,A_2,\dots ,A_n)$, t是R的元组, t 的分量记为$t[A_i],$ 或简写为Ai

条件con由逻辑运算符连接比较表达式组成

逻辑运算符：KaTeX parse error: Undefined control sequence: \and at position 1: \̲a̲n̲d̲\quad \or \quad… 或写为 and , or, not

比较表达式：$X\theta Y$, 其中X, Y 是t的分量、常量或简单函数, $\theta$是比较运算符, θ∈{>,≥,<,≤,=,≠}\theta \in\{ > , \ge , < , \le , = , ≠\}θ∈{>,≥,<,≤,=,​=}

示例

投影Project

定义：给定一个关系R, 投影运算结果也是一个关系，记作 PA® , 它从关系R中选出属性包含在A中的列构成。

数学描述：$ \Pi_{A_{i1}, A_{i2}, … ,A_{ik}}® = { <t[A_{i1}], t[A_{i2}],…,t[A_{iK}]> | t\in R }$

设$R(A_1,A_2,\dots ,A_n),A_{i1},A_{i2},\dots ,A_{ik}\subseteq A1,A2,\dots ,An$

$t[A_i]$表示元组t中相应于属性Ai的分量

投影运算可以对原关系的列在投影后重新排列

投影操作从给定关系中选出某些列组成新的关系, 而选择操作是从给定关系中选出某些行组成新的关系

示例

投影与选择一起使用

选择选出某行，投影选出某列

关系代数扩展操作

交Intersection

定义：假设关系R和关系S是并相容的，则关系R与关系S的交运算结果也是一个关系，记作：R ∩S, 它由同时出现在关系R和关系S中的元组构成。

数学描述：$ R\cap S ={ t | t\in R \and t\in S } $，其中t是元组

R∩S 和 S∩R 运算的结果是同一个关系

交运算可以通过差运算来实现：$R \cap S = R - (R - S) = S - (S - R) $

示例：

$\theta$-连接($\theta$-Join, theta-Join)

定义：给定关系R和关系S, R与S的$\theta$连接运算结果也是一个关系，记作$\underset{A\theta B}{R\bowtie S}$，它由关系R和关系S的笛卡尔积中, 选取R中属性A与S中属性B之间满足$\theta$条件的元组构成。

数学描述
$$\underset{A\theta B}{R\bowtie S}={\sigma }_{t[A]\theta s[B]}(R\times S)$$

设$R(A_1 ,A_2 , … ,A_m), A\in { A_1 ,A_2 , … ,A_m } $

$ S(B_1 ,B_2 , … ,B_n), B\in { B_1 ,B_2 , … ,B_n }$

t是关系R中的元组，s是关系S中的元组

属性A和属性B具有可比性

$\theta$是比较运算符, θ∈{>,≥,<,≤,=,≠}\theta \in\{ > , \ge , < , \le , = , ≠\}θ∈{>,≥,<,≤,=,​=}

示例

员工表Worker(W#, Wname, Wsex, Wage, Degree) ,

职位限定表Position(Type, Limited_Degree)

竞聘的岗位必须由不低于其最低学历要求的人员担任，找出所有员工的姓名及其可能竞聘职位的名称

等值连接(Equi-Join)

定义：给定关系R和关系S, R与S的等值连接运算结果也是一个关系，记作 $\underset{A=B}{R\bowtie S}$ ，它由关系R和关系S的笛卡尔积中选取R中属性A与S中属性B上值相等的元组所构成。

数学描述：
$$\underset{A=B}{R\bowtie S}={\sigma }_{t[A]=s[B]}(R\times S)$$
当$\theta$-连接中运算符为“＝”时，就是等值连接，等值连接是$\theta$-连接的一个特例；

广义积的元组组合并不是都有意义的，另广义积的元组组合数目也非常庞大，因此采用$\theta$-连接/等值连接运算可大幅度降低中间结果的保存量，提高速度。

自然连接

定义：给定关系R和关系S, R与S的自然连接运算结果也是一个关系，记作 $R\bowtie S$ ，它由关系R和关系S的笛卡尔积中选取相同属性组B上值相等的元组所构成。

数学描述
$$R\bowtie S={\sigma }_{t[A]=s[B]}(R\times S)$$

自然连接是一种特殊的等值连接。

要求关系R和关系S必须有相同的属性组B(如R,S共有一个属性B1,则B是B1 , 如R, S共有一组属性B1, B2, …, Bn，则B是这些共有的所有属性)

R, S属性相同，值必须相等才能连接，即：

R.B1 = S.B1 and R.B2 = S.B2 … and R.Bn = S.Bn才能连接

要在结果中去掉重复的属性列(因结果中R.Bi 始终是等于S.Bi 所以可只保留一列即可)。

示例：

学生选课表SC(S#, C#, Score) ,

课程表Course (C#, Cname, Chours, Credit, T#)

基本思路

1️⃣ 检索是否涉及多个表，如不涉及，则可直接采用并、差、交、选择与投影，只要注意条件书写正确与否即可。

2️⃣ 如涉及多个表，则检查：

能否使用自然连接，将多个表连接起来(多数情况是这样的)

如不能，能否使用等值或不等值连接(q-连接)

还不能，则使用广义笛卡尔积，注意相关条件的书写

3️⃣ 连接完后，可以继续使用选择、投影等运算，即所谓数据库的“选投联”操作。

关系代数复杂扩展操作

除

除法运算经常用于求解“查询… 全部的/所有的…”问题

前提条件：给定关系$R(A_1,A_2,\dots ,A_m)$为m度关系，关系$S(B_1,B_2,\dots ,B_n)$为n度关系。如果可以进行关系R与关系S的除运算，当且仅当：属性集{B1,B2,…,Bn}\{ B_1 ,B_2 , … , B_n \}{B1​,B2​,…,Bn​}是属性集{A1,A2,…,Am}\{ A1 ,A2 , … ,Am \}{A1,A2,…,Am}的真子集，即m>n。

定义：关系R 和关系S的除运算结果也是一个关系，记作$R÷S$，分两部分来定义。

1️⃣ 先定义$R÷S$的结果应有哪些属性

设属性集{C1,C2,…,Ck}={A1,A2,…,Am}–{B1,B2,…,Bn}\{C_1,C_2, … ,C_k \} = \{A_1,A_2, … ,A_m \}\ – \ \{B_1,B_2, … ,B_n \}{C1​,C2​,…,Ck​}={A1​,A2​,…,Am​} – {B1​,B2​,…,Bn​}, 则有k=n–m

则$R÷S$结果关系是k度(m-n度)关系，由{C1,C2,…,Ck}\{C_1,C_2, … ,C_k \}{C1​,C2​,…,Ck​}属性构成

2️⃣ 再定义$R÷S$的元组怎样形成

再设关系$R(<a_1,\dots ,a_m>)$和关系$S(<b_1,\dots ,b_n>)$, 那么$R÷S$结果关系为元组 $<c_1,\dots ,c_k>$的集合，元组 $<c_1,\dots ,c_k>$满足下述条件：

它与S中每一个元组$<b_1,\dots ,b_n>$组合形成的一个新元组都是R中的某一个元组$<a_1,\dots ,a_m>$ 。(其中，a1, …, am ,b1, …, bn, c1, …, ck分别是属性A1 , … ,Am,B1 , … ,Bn C1 , … ,Ck 的值)

数学描述

其实就是挑出R中含有S中属性全部值的的相关元组的投影

示例：

外连接

定义：两个关系R与S进行连接时，如果关系R(或S)中的元组在S(或R)中找不到相匹配的元组，则为了避免该元组信息丢失，从而将该元组与S(或R)中假定存在的全为空值的元组形成连接，放置在结果关系中，这种连接称之为外连接(Outer Join)。

三、关系演算

按照谓词变量的不同，可分为关系元组演算和关系域演算

关系元组演算是以元组变量作为谓词变量的基本对象。

关系域演算是以域变量作为谓词变量的基本对象。

关系元组演算

关系元组演算公式的基本形式：{ t | P(t) }

上式表示：所有使谓词 P 为真的元组 t 的集合

t 是元组变量

$t \in r $ 表示元组 t 在关系 r 中

t [A] 表示元组 t 的分量，即 t 在属性 A 上的值

P 是与谓词逻辑相似的公式, P(t)表示以元组 t 为变量的公式

示例

1️⃣ 检索出年龄小于20岁并且是男同学的所有学生。

2️⃣ 再例如：检索出年龄小于20岁或者03系的所有男学生。

3️⃣ 在元组演算公式构造过程中，如果需要，可以使用括号，通过括号改变运算的优先次序，即：括号内的运算优先计算

检索出不是03系的所有学生

4️⃣ 检索不是(小于20岁的男同学)的所有同学

5️⃣ “检索出年龄不是最小的所有同学”

关系代数表达式

6️⃣ 检索软件学院的所有同学

7️⃣ 检索出比张三年龄小的所有同学

四个复杂例子

用元组演算公式实现关系代数

关系代数有五种基本操作：并、差、广义积、选择、投影操作，还有：交、theta-连接操作。

1️⃣ 并运算：KaTeX parse error: Undefined control sequence: \or at position 27: … \{ t | t\in R \̲o̲r̲ ̲t\in S \}

2️⃣ 差运算：KaTeX parse error: Undefined control sequence: \and at position 24: … \{ t | t\in R \̲a̲n̲d̲ ̲ ̲\neg t\in S \}

3️⃣ 交运算：KaTeX parse error: Undefined control sequence: \and at position 27: … \{ t | t\in R \̲a̲n̲d̲ ̲ ̲t\in S \}

4️⃣ 广义笛卡尔积 KaTeX parse error: Undefined control sequence: \and at position 72: …S)(t[A] = u[A] \̲a̲n̲d̲ ̲ ̲t[B] = s[B])\}

5️⃣ 选择运算： KaTeX parse error: Undefined control sequence: \and at position 33: …= { t | t\in R \̲a̲n̲d̲ ̲ ̲F(con) }

6️⃣ 投影运算：$ \Pi _A( R ) = { t[A] | t\in R }$

关系域演算

关系域演算公式的基本形式： { < x1 , x2 , … , xn > | P ( x1 , x2 , … , xn ) }

其中， xi 代表域变量或常量， P为以xi为变量的公式。

示例：

1️⃣ 检索出不是03系的所有学生

2️⃣ 检索不是(小于20岁的男同学)的所有同学的姓名

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3️⃣ 检索成绩不及格的同学姓名、课程及其成绩

不产生无限关系和无穷验证的运算被称为是安全的

关系代数是一种集合运算，是安全的。

集合本身是有限的，有限元素集合的有限次运算仍旧是有限的。

关系演算不一定是安全的

四、习题解答和解析

五、补充习题