概念       

        在我们进行计算的过程中，经常会遇到几十位，甚至几百位的数字的计算问题，也有可能会遇到小数点后几十位，几百位的情况，而我们面对这样的情况下，   和 的数据范围显然是不够使用的了。因此这时，我们就需要引入一个新的算法，叫做高精度算法 .

         我们可以利用程序设计的方法去实现这样的高精度计算 . 介绍常用的几种高精度计算的方法 .

思想

        高精度算法本质上是用字符串模拟数字进行计算，再利用类似于数学里的竖式的形式，一位一位进行相关计算 .

处理

高精度计算中需要处理好以下几个问题：

1）数据的接收方法和存储方法

        数据的接收和存储：当输入的数很长时，可采用字符串方式输入，这样可输入位数很长的数，利用字符串函数和操作运算，将每一位取出，存入数组中 .

void init(int a[]) { // 传入数组string s;cin >> s; len = s.length(); // s.length --> 计算字符串位数for(int i=1; i<=len; i++)     a[i] = s[len -i] - '0'; //将字符串s转换为数组a, 倒序存储
}

2）进位、借位的处理.

// 加法进位: c[i] = a[i] + b[i]code:    if(c[i] >= 10) {c[i] %= 10;++c[i++];}//减法借位: c[i] = a[i] - b[i]code:    if(a[i] < b[i]) {--a[i+1];a[i] += 10;   } //乘法进位: c[i + j - 1] = a[i] * b[j] + x + c[i + j - 1];x = c[i + j - 1] / 10;c[i + j - 1] % 10;

高精度加法 +

        输入两个数到变量中，然后用赋值语句求它们的和后输出 . But，我们知道，在 C++ 语言中任何数据类型都有一定表示范围. 当两个加数很大时，以前的算法显然不能求出精确解，因此我们需要寻求另一种方法 .在读小学时，我们做加法都采用竖式方法 . 这样我们方便写出两个整数相加的算法 .

        如果我们用数组分别储存两个加数，用数组 储存结果。则上例有 :

#include <cstdio>
#include <cstring>using namespace std;int main() {char a1[5005], b1[5005]; //用字符存储数字int a[5005], b[5005], c[5005]; //c[i] 用来储存每位相加的结果int len_a, len_b, len_c = 1, x, i;memset(a, 0, sizeof(a));memset(b, 0, sizeof(b));memset(c, 0, sizeof(c));scanf("%s%s", a1, b1); //输入两个加数len_a = strlen(a1);len_b = strlen(b1);for(i=0; i<len_a; i++) a[len_a - i] = a1[i] - '0'; // 将加数放进a数组for(i=0; i<len_b; i++) b[len_b - i] = b1[i] - '0'; // 将另一个加数放进b数组x = 0; // x为进位while(len_c <= len_a || len_c <= len_b) {c[len_c] = a[len_c] + b[len_c] + x; // 两数相加，再加上前两个数进位的x = c[len_c] / 10; // 刷新进位c[len_c] %= 10; // 进位后剩下的len_c++; //位数加1}c[len_c] = x;if(c[len_c] == 0) { //判断首位是否为0len_c--; // 不输出此位}for(int i=len_c; i>=1; i--) {printf("%d", c[i]); //输出每一位的数}return 0;
}

高精度减法 -

        类似加法，同样使用竖式。在做减法运算时，需要注意的是：需要有借位处理。

#include <iostream>
#include <cstring>int main() {int a[5005], b[5005], c[5005];int lena, lenb, lenc, i;char n[5005], n1[5005], n2[5005];std::memset(a, 0, sizeof(a));std::memset(b, 0, sizeof(b));std::memset(c, 0, sizeof(c));std::cin >> n1 >> n2; //输入被减数和减数lena = std::strlen(n1);lenb = std::strlen(n2);for(i=0; i<lena; i++) a[lena - i] = (int)n1[i] - '0';for(i=0; i<lenb; i++) b[lenb - i] = (int)n2[i] - '0'; //逆序存放排列i = 1;while(i <= lena || i <= lenb) {if(a[i] < b[i]) {c[i] = a[i] + 10 - b[i];a[i+1]--; //借位处理}else {c[i] = a[i] - b[i]; }i++;}lenc = i;while(c[lenc] == 0 && lenc > 1) { //如果最后一位是0，是需要输出的lenc--;   // 不输出首位0}for(i=lenc; i>=1; i--) std::cout << c[i];return 0;
}

高精度乘法 ×

        类似加法，使用竖式。在做乘法时，同样也有进位。

        分析 数组的下标变化规律，可以写出以下关系式:         

       由此可见， 跟 乘积有关，跟上次的进位有关，跟还原 的值有关，分析下标规律，有 :

                                       

#include <iostream>
#include <cstring>int main() {int a[105], b[105], c[10005];char n1[105], n2[105], lena, lenb, lenc, j, i, x;std::memset(a, 0, sizeof(a));std::memset(b, 0, sizeof(b));std::memset(c, 0, sizeof(c));std::cin >> n1 >> n2;lena = std::strlen(n1);lenb = std::strlen(n2);for(i=0; i<=lena-1; i++) a[lena - i] = n1[i] - 48; for(i=0; i<=lenb-1; i++) b[lenb - i] = n2[i] - 48; // 倒序储存for(i=1; i<=lena; i++) {x = 0;for(j=1; j<=lenb; j++) {c[i + j - 1] = c[i + j - 1] + x + a[i] * b[j];x = c[i + j - 1] / 10; // 进位c[i + j - 1] %= 10; // 剩余}c[i + lenb] = x; // 进位的数}lenc = lena + lenb;while(c[lenc] == 0 && lenc > 1) {lenc--; // 删除前导0}for(i=lenc; i>=1; i--) {std::cout << c[i];}  // 输出每一位std::cout << std::endl;return 0;
} 

除法 ÷

1）高精除以低精

        做除法时，每一次的商值都在 0~9 之间，每次求得的余数连接以后的若干位得到新的被除数，继续做除法。因此，在做高精度除法时，要涉及到乘法运算和减法运算，还有移位处理。当然，为了程序简洁，可以避免高精度乘法，用 0~9 次循环减法取代得到商的值。采用按位相除法。

#include <iostream>int main(){char n1[100];int a[100], c[100], lena, i, x = 0, lenc, b;std::memset(a, 0, sizeof(a));std::memset(c, 0, sizeof(c));std::cin >> n1 >> b;  lena = strlen(n1);for(i=1; i<=lena; i++) {a[i] = n1[i - 1] - '0'; //除法不需要逆序存放}//-------------------------初始化------------------------------for(i=1; i<=lena; i++) {c[i] = (a[i] + x * 10) / b;  // 算上上一位剩下的继续除x = (a[i] + 10 * x) % b; // 求余}lenc = 1;while(c[lenc] == 0 && lenc < lena) {lenc++;}for(i=lenc; i<lena; i++) std::cout << c[i];return 0;
}

2）高精除以高精

        高精除以低精是对被除数的每一位（这里的"一位"包含前面的余数，以下都是如此）都除以除数，而高精除以高精则使用减法模拟除法，对被除数的每一位都减去除数，一直减到当前位置的数字（包含前面的余数）小于除数（由于每一位的数字小于10，所以对每一位最多进行10次运算），代码如下：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>using namespace std;int a[50005], b[50005], c[50005], d;void init(int a[]) {char s[50005];cin >> s;a[0] = strlen(s);		// 字符串存储，表示位数	for (int i=1; i<=a[0]; i++) {a[i] = s[a[0]-i] - 48;	// 正序储存} 	
}void print(int a[]) {			if (a[0] == 0) {cout << 0 << endl;return;  // 位数为0，输出0}for (int i=a[0]; i>=1; i--) {cout << a[i];  // 输出函数}cout << endl;return;
} int compare(int a[], int b[]) {	if (a[0] > b[0]) {return 1; // 被减数大于减数} if (a[0] < b[0]) {return -1; // 被减数小于减数}for (int i=a[0]; i>=1; i--) {	if (a[i] > b[i]) {return 1;} if (a[i] < b[i]) {return -1;}   // 位数相同，找到第一位不同的进行比较} return 0;					
}void numcpy(int p[], int q[], int det) {for (int i=1; i<=p[0]; i++) {q[i+det-1] = p[i]; //复制p数组到q数组从det开始的地方}q[0] = p[0] + det - 1;
}void jian(int a[], int b[]) {		int flag = compare(a, b);		 if (flag == 0)  {					a[0] = 0;return;}if (flag == 1) {				for (int i=1; i<=a[0]; i++) {if (a[i] < b[i]) {			 a[i+1]--;			a[i] += 10;}a[i] -= b[i];}while (a[0]>0 && a[a[0]]==0) {a[0]--;					} return; }				 
}  // 高精减法void chugao(int a[], int b[], int c[]) {int tmp[50005];c[0] = a[0] - b[0] + 1;for (int i=c[0]; i>0; i--) {memset(tmp, 0, sizeof(tmp));	numcpy(b, tmp, i);// 清零while (compare(a, tmp) >= 0) {c[i]++;jian(a, tmp);	// 用减法模拟		} }while (c[0] > 0 && c[c[0]] == 0) {c[0]--;}return;
}int main() {memset(a, 0, sizeof(a));memset(b, 0, sizeof(b));memset(c, 0, sizeof(c));init(a);init(b);chugao(a,b,c);print(c);	return 0;
}

麻烦点个赞，我是个初中生😅