在训练点击率预估模型的时候，训练数据中正负样本不均衡是常见的现象，对于这种问题，会对负样本进行采样，然后将采样后的负样本和正样本一起作为训练数据来训练ctr模型。由于负采样的缘故，会导致线上待预测数据分布与离线训练分布有很大差距，线上预估分数往往会高于真实值，所以非常有必要进行校准。

校准过程如下

1. 变量定义。
   • $p^{{}^{\prime }}$已经采样后的预估概率（训练）
   • $p$未经采样的预估概率（测试）
   • $N_p$原始正样本数量
   • $N_n$采样后负样本数量
   • $r$负样本的采样比例，分数，例如0.1
   • $\frac{N_n}{r}$采样前负样本数量
   • 假设点击预估函数为sigmoid函数（训练）

$$p^{{}^{\prime }}=\sigma (x)=\frac{1}{1+e(-wx)}$$

2. $\frac{正样本概率}{负样本概率}=\frac{正样本数}{负样本数}$

$$\frac{p^{{}^{\prime }}}{1-p^{{}^{\prime }}}=\frac{N_p}{N_n}$$

$$\frac{p}{1-p}=\frac{N_p}{\frac{N_n}{r}}$$

3. 根据2中公式可以得到

$$\frac{p}{1-p}=\frac{p^{{}^{\prime }}}{1-p^{{}^{\prime }}}\ast r$$

4. 采用的sigmoid预测

   $$\frac{1}{p^{{}^{\prime }}}=1+e^{-wx}=>\frac{1-p^{{}^{\prime }}}{p^{{}^{\prime }}}=e^{-wx}=>ln(\frac{1-p^{{}^{\prime }}}{p^{{}^{\prime }}})=-wx$$

   可以得到

   $$ln(\frac{p^{{}^{\prime }}}{1-p^{{}^{\prime }}})=wx$$

5. 结合3 、 4

   $$ln(\frac{p}{1-p})=ln(\frac{p^{{}^{\prime }}}{1-p^{{}^{\prime }}})\ast ln(r)=wx+ln(r)$$

6. 最终得到校准后的预估函数

   $$p=\frac{1}{1+e^{-(wx+ln(r))}}=\frac{1}{1+\frac{1}{r}\ast e^{-wx}}$$