Java:最通俗易懂地理解0-1背包问题
Reference: https://www.jianshu.com/p/a66d5ce49df5
- 问题:
0-1背包问题:给定n种物品和一背包。物品 i 的重量似乎 wi,其价值为 vi,背包的容量为 c。问应该如何选择装入背包中的物品,使得装入背包中物品的总价值最大?
- 通俗解答:
假设你是一个小偷,背着一个可装下4磅东西的背包,你可以偷窃的物品如下:
为了让偷窃的商品价值最高,你该选择哪些商品?
1、简单算法
最简单的算法是:尝试各种可能的商品组合,并找出价值最高的组合。
这样显然是可行的,但是速度非常慢。在只有3件商品的情况下,你需要计算8个不同的集合;当有4件商品的时候,你需要计算16个不同的集合。每增加一件商品,需要计算的集合数都将翻倍!这种算法的运行时间是O(2ⁿ),真的是慢如蜗牛。
2、动态规划
解决这样问题的答案就是使用动态规划!下面来看看动态规划的工作原理。动态规划先解决子问题,再逐步解决大问题。
对于背包问题,你先解决小背包(子背包)问题,再逐步解决原来的问题。
比较有趣的一句话是:每个动态规划都从一个网格开始。
背包问题的网格如下:
网格的各行为商品,各列为不同容量(1~4磅)的背包。所有这些列你都需要,因为它们将帮助你计算子背包的价值。
网格最初是空的。你将填充其中的每个单元格,网格填满后,就找到了问题的答案!
后面会列出计算这个网格中单元格值得公式,但现在我们先来一步一步做。首先来看第一行。
这是吉他行,意味着你将尝试将吉他装入背包。在每个单元格,都需要做一个简单的决定:偷不偷吉他?别忘了,你要找出一个价值最高的商品集合。
第一个单元格表示背包的的容量为1磅。吉他的重量也是1磅,这意味着它能装入背包!因此这个单元格包含吉他,价值为1500美元。
下面来填充网格。
与这个单元格一样,每个单元格都将包含当前可装入背包的所有商品。
来看下一个单元格。这个单元格表示背包容量为2磅,完全能够装下吉他!
这行的其他单元格也一样。别忘了,这是第一行,只有吉他可供你选择,换而言之,你假装现在还没发偷窃其他两件商品。
此时你很可能心存疑惑:原来的问题说的额是4磅的背包,我们为何要考虑容量为1磅、2磅等得背包呢?前面说过,动态规划从小问题着手,逐步解决大问题。这里解决的子问题将帮助你解决大问题。
别忘了,你要做的是让背包中商品的价值最大。这行表示的是当前的最大价值。它指出,如果你有一个容量4磅的背包,可在其中装入的商品的最大价值为1500美元。
你知道这不是最终解。随着算法往下执行,你将逐步修改最大价值。
我们来填充下一行——音响行。你现在处于第二行,可以偷窃的商品有吉他和音响。
我们先来看第一个单元格,它表示容量为1磅的背包。在此之前,可装入1磅背包的商品最大价值为1500美元。
该不该偷音响呢?
背包的容量为1磅,显然不能装下音响。由于容量为1磅的背包装不下音响,因此最大价值依然是1500美元。
接下来的两个单元格的情况与此相同。在这些单元格中,背包的容量分别为2磅和3磅,而以前的最大价值为1500美元。由于这些背包装不下音响,因此最大的价值保持不变。
背包容量为4磅呢?终于能够装下音响了!原来最大价值为1500美元,但如果在背包中装入音响而不是吉他,价值将为3000美元!因此还是偷音响吧。
下面以同样的方式处理笔记本电脑。笔记本电脑重3磅,没法将其装入1磅或者2磅的背包,因此前两个单元格的最大价值仍然是1500美元。
对于容量为4磅的背包,情况很有趣。这是非常重要的部分。当前的最大价值为3000美元,你可不偷音响,而偷笔记本电脑,但它只值2000美元。
你可能始终心存疑惑:为何计算小背包可装入的商品的最大价值呢?但愿你现在明白了其中的原因!余下了空间时,你可根据这些子问题的答案来确定余下的空间可装入哪些商品。笔记本电脑和吉他的总价值为3500美元,因此偷它们是更好的选择。
最终的网格类似于下面这样。
3、代码实现:
/*** @author:我没有三颗心脏* @create:2017-11-14-10:24*/
public class MaxBag {static int n; // 描述物品个数static int c; // 描述背包容量static int[] value; // 描述物品价值static int[] weight; // 描述物品重量public static void main(String[] args) {// 初始赋值操作value = new int[]{1500, 3000, 2000};weight = new int[]{1, 4, 3};c = 4;n = 3;// 构造最优解的网格:3行4列int[][] maxValue = new int[n][c];for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < c; j++) {maxValue[i][j] = 0;}} // end for// 填充网格for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 1; j <= c; j++) {if (i == 0) {maxValue[i][j - 1] = (weight[i] <= j ? value[i] : 0);} else {int topValue = maxValue[i - 1][j - 1]; // 上一个网格的值int thisValue = (weight[i] <= j ? // 当前商品的价值 + 剩余空间的价值(j - weight[i] > 0 ? value[i] + maxValue[i - 1][j - weight[i]] : value[i]): topValue);// 返回 topValue和thisValue中较大的一个maxValue[i][j - 1] = (topValue > thisValue ? topValue : thisValue);} // end if} // end inner for} // end outer for// 打印结果二维数组maxValuefor (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < c; j++) {System.out.printf("%6d", maxValue[i][j]);}System.out.println();}}
}
4、额外惊喜
假设你发现还有第四件商品可偷——一个iPhone!(或许你会毫不犹豫的拿走,但是请别忘了问题的本身是要拿走价值最大的商品)
对于第三个单元格,也没有比装入iPhone和吉他更好的选择了。
对于最后一个单元格,情况比较有趣。当前的最大价值为3500美元,但你可以偷iPhone,这将余下3磅的容量。
3磅容量的最大价值为2000美元!再加上iPhone价值2000美元,总价值为4000美元。新的最大价值诞生了!
最终的网格如下。
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只能是等着,别无他法。说是卡着如果你看硬盘灯应该在读写。如果从 Win 10 无法正常回滚,只能是考虑备份数据后重装系统了。解决来方案一:管理员运行cmd:net stop WuAuServcd %windir%ren SoftwareDistribution SDoldnet start WuA…...
2022/11/19 21:17:09 - 计算机配置更新不起,电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?
原标题:电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?win7系统中在开机与关闭的时候总是显示“配置windows update请勿关闭计算机”相信有不少朋友都曾遇到过一次两次还能忍但经常遇到就叫人感到心烦了遇到这种问题怎么办呢?一般的方…...
2022/11/19 21:17:08 - 计算机正在配置无法关机,关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机...
关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!关机提示 windows7 正在配…...
2022/11/19 21:17:05 - 钉钉提示请勿通过开发者调试模式_钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用...
钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用 更新时间:2020-04-20 22:24:19 浏览次数:729次 区域: 南阳 > 卧龙 列举网提醒您:为保障您的权益,请不要提前支付任何费用! 虚拟位置外设器!!轨迹模拟&虚拟位置外设神器 专业用于:钉钉,外勤365,红圈通,企业微信和…...
2022/11/19 21:17:05 - 配置失败还原请勿关闭计算机怎么办,win7系统出现“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”,长时间没反应,无法进入系统的解决方案...
前几天班里有位学生电脑(windows 7系统)出问题了,具体表现是开机时一直停留在“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”这个界面,长时间没反应,无法进入系统。这个问题原来帮其他同学也解决过,网上搜了不少资料&#x…...
2022/11/19 21:17:04 - 一个电脑无法关闭计算机你应该怎么办,电脑显示“清理请勿关闭计算机”怎么办?...
本文为你提供了3个有效解决电脑显示“清理请勿关闭计算机”问题的方法,并在最后教给你1种保护系统安全的好方法,一起来看看!电脑出现“清理请勿关闭计算机”在Windows 7(SP1)和Windows Server 2008 R2 SP1中,添加了1个新功能在“磁…...
2022/11/19 21:17:03 - 请勿关闭计算机还原更改要多久,电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机怎么办...
许多用户在长期不使用电脑的时候,开启电脑发现电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机。。.这要怎么办呢?下面小编就带着大家一起看看吧!如果能够正常进入系统,建议您暂时移…...
2022/11/19 21:17:02 - 还原更改请勿关闭计算机 要多久,配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以...
配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机&#x…...
2022/11/19 21:17:01 - 电脑配置中请勿关闭计算机怎么办,准备配置windows请勿关闭计算机一直显示怎么办【图解】...
不知道大家有没有遇到过这样的一个问题,就是我们的win7系统在关机的时候,总是喜欢显示“准备配置windows,请勿关机”这样的一个页面,没有什么大碍,但是如果一直等着的话就要两个小时甚至更久都关不了机,非常…...
2022/11/19 21:17:00 - 正在准备配置请勿关闭计算机,正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了解决教程...
当电脑出现正在准备配置windows请勿关闭计算机时,一般是您正对windows进行升级,但是这个要是长时间没有反应,我们不能再傻等下去了。可能是电脑出了别的问题了,来看看教程的说法。正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了方法一…...
2022/11/19 21:16:59 - 配置失败还原请勿关闭计算机,配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机...
我们使用电脑的过程中有时会遇到这种情况,当我们打开电脑之后,发现一直停留在一个界面:“配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机”,等了许久还是无法进入系统。如果我们遇到此类问题应该如何解决呢࿰…...
2022/11/19 21:16:58 - 如何在iPhone上关闭“请勿打扰”
Apple’s “Do Not Disturb While Driving” is a potentially lifesaving iPhone feature, but it doesn’t always turn on automatically at the appropriate time. For example, you might be a passenger in a moving car, but your iPhone may think you’re the one dri…...
2022/11/19 21:16:57