递归算法复杂度与主定理的推导
一、基本概念
分治法的基本思想
分治法就是把一个大的问题分解成为若干个小的问题,求出小问题的解后合并即为大问题的解
分支法能够解决的问题的一般特征
- 该问题可以分解为若干规模规模较小的相同问题;
- 该问题的规模缩小到一定的程度就可以很容易的解决;
- 如果不满足的话就不必进行使用分治法进行分解了;
- 分解之后的子问题的解可以合并成为该问题的解;
- 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的,即子问题之间不包含公共的子问题
二、分治法的时间复杂度的分析(主定理)
主定理是我们分析递归算法所需要的工具。 主定理将算法的递归过程作为输入
,而其输出就是该算法的运行时间上界
。
主定理的另一个版本—标准递归过程
如果T(n)被定义为一个标准地推过程,满足参数 a>=1,b>=1,d>=1,则
例如:在一个归并排序的递归过程中,一次二分需要调用两个递归过程,而这两次递归过程就是代表着a ,而每一次的递归都是将之前的数组一分为二,即长度便为原来的二分之一,则输入长度的收缩因子就是2,(b=2),在递归调用完成之后需要将完成之后合成一个整体返回,之后就是递归调用之外所需要的完成的工作,就归并排序为例他是线性的,所以d=1.因此:
a= 2=21=bd
满足上图Tn中的条件一,所以 T(n)=O(dnlog n) = O(n log n)
他的递归时间复杂度就是 O(n log n)
例如:二分搜索要么对输入数组的左半部分继续搜索,要么对右半部分继续搜索(不会同时对两者进行搜索),因此只有 1 个递归调用(a = 1)。 这个递归调用对输入数组的一半进行操作,因此 b 仍然等于 2。在递归调用之外, 二分搜索所执行的操作只是一个比较(数组中间元素的值与被搜索元素的值), 以决定下一步是在数组的左半部分还是右半部分进行搜索。因此递归调用之外的工作量是 O(1),所以 d = 1。由于 a = 1 = 20 = bd,所以还是满足主定理的第一种情况,所以运行时间上界是 O(nd log n) = O(log n)。
关于nd的解法分析
n的d次方是指把子问题的解合并的时间开销,你是可以确定的。它是根据你的实际问题来确定的。
例如:在归并排序中,你可以先假设你已经把左右两半都排好序了,于是在合并阶段你要做的事情是就是把左边的n/2个有序的数和右边n/2个有序的数 合并在一起使得n个数有序,这个合并两个有序表过程需要O(n),于是d=1.
三、主定理的推导
问题分解
在我们对 归并排序所进行的分析中,我们想要逐层计算递归算法所完成的工作。这个计划需要理解两个概念:某个特定的递归层 j 的不同子问题的数量以及每个子问题的输入长度。
受归并排序分析的启发,我们的计划是用一种分治算法对第 j 层子问题所执行的操作数量进行统计,然后把它累加上所有层次的工作上。现在,我们重点是观察归树的第 j 层。根据上图分析得到,第 j 层一共有 aj个不同的子问题, 每个子问题的输入长度为 n / bj。
把第 j 层所有 aj 个子问题累加起来就得到递归树的第 j 层所完成的工作量的上界:
我们把依赖于第 j 层的内容与不依赖第 j 层的内容分离开来,对这个表达式 进行简化:
不等式的右端最引人注目的是 a/bd 这个关键比率。a 与 bd的比值正好决定了其结果符合主定理的三种情况,所以不需要对分析过程中明确出现这个比率而感到惊讶,这正是我们想要的结果。
合并各层结果
一共有多少层呢?输入长度最初是 n,它在每一层的收缩因子是 b。由于我 们假定 n 是 b 的整数次方,当长度为 1 时就满足基本条件,因此递归树的层次正 好就是 n 不断除以 b 结果为 1 时的次数,也就是 logbn。把 j = 0, 1, 2, …, logbn 的所有层的工作相加就可以推导出下面这个神秘的运行时间上界(nd与j无关):
不管你是否相信,我们已经达成了证明主定理的一个重要里程碑。不等式 (4.4)的右端看上去有点像神秘的字母“大杂烩”,但是通过适当的解释,它正
是我们深入理解主定理的关键。
三种情况分析
正如上边推导出来的公式可以知道 其关键因素的是a/bd 这个关键比率。
- a:也就是每个 递归层的子问题增殖率(RSP),它是子问题数量爆炸性增长的扩张因子。
- bd:也就是工作量的收缩率(RWS),在递归的每一层,每个子问题的工作量都会根据收缩因子 bd 进行缩减。
那么工作量是会随着递归的层数增加而增加,还是随着递归的层数的增加而减少,又或者是每一层完成的工作量是相同的。
结论如下
- 如果 RSP < RWS,则递归层次 j 越深,它所完成的工作量就越少。
- 如果 RSP > RWS,则递归层次 j 越深,它所完成的工作量就越多。
- 如果 RSP = RWS,则每个递归层所完成的工作量都是相同的。
四、结语
收获
再次把结论放这里。在弄明白主定理是怎么回事之后,我想着大家只要记住公式的大致用法,以后再加以练习,在运用递归方法时候会更加的熟练,用的更加习惯。
学习过程
我在学习主定理的时候是先看了《算法详解》卷一–算法基础 前四章。
当时看完书不是特别明白,又去B站找了一个视频看了一下结合书本加以理解【学习记录】分治和主定理的推导-计算机算法_哔哩哔哩_bilibili
在看书和看视频之后,我对主定理的前两个参数(a,b) 有了会很好额理解,但是在面对第三个参数nd的时候还是不太清楚怎么算,什么是递归调用之外的工作量?我紧接着又去查了一下博客,在看博客的时候我复习了一下之前在书和视频中的内容,对书中遗漏的知识点,在这篇博客中算是的到了一个很好的补充。
那关于nd 我是在这篇博客中的评论里学到的,所以把那段评论也放在了我的文章里面。
博客如下:Master—Theorem 主定理的证明和使用_jmhIcoding-CSDN博客_master定理
引用
- 《算法详解》卷一 —算法基础 作者:
Tim Roughgarden
- 【学习记录】分治和主定理的推导-计算机算法_哔哩哔哩_bilibili
- Master—Theorem 主定理的证明和使用_jmhIcoding-CSDN博客_master定理
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今天和大家分享一下win7系统重装了Win7旗舰版系统后,每次关机的时候桌面上都会显示一个“配置Windows Update的界面,提示请勿关闭计算机”,每次停留好几分钟才能正常关机,导致什么情况引起的呢?出现配置Windows Update…...
2022/11/19 21:17:10 - 电脑桌面一直是清理请关闭计算机,windows7一直卡在清理 请勿关闭计算机-win7清理请勿关机,win7配置更新35%不动...
只能是等着,别无他法。说是卡着如果你看硬盘灯应该在读写。如果从 Win 10 无法正常回滚,只能是考虑备份数据后重装系统了。解决来方案一:管理员运行cmd:net stop WuAuServcd %windir%ren SoftwareDistribution SDoldnet start WuA…...
2022/11/19 21:17:09 - 计算机配置更新不起,电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?
原标题:电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?win7系统中在开机与关闭的时候总是显示“配置windows update请勿关闭计算机”相信有不少朋友都曾遇到过一次两次还能忍但经常遇到就叫人感到心烦了遇到这种问题怎么办呢?一般的方…...
2022/11/19 21:17:08 - 计算机正在配置无法关机,关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机...
关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!关机提示 windows7 正在配…...
2022/11/19 21:17:05 - 钉钉提示请勿通过开发者调试模式_钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用...
钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用 更新时间:2020-04-20 22:24:19 浏览次数:729次 区域: 南阳 > 卧龙 列举网提醒您:为保障您的权益,请不要提前支付任何费用! 虚拟位置外设器!!轨迹模拟&虚拟位置外设神器 专业用于:钉钉,外勤365,红圈通,企业微信和…...
2022/11/19 21:17:05 - 配置失败还原请勿关闭计算机怎么办,win7系统出现“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”,长时间没反应,无法进入系统的解决方案...
前几天班里有位学生电脑(windows 7系统)出问题了,具体表现是开机时一直停留在“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”这个界面,长时间没反应,无法进入系统。这个问题原来帮其他同学也解决过,网上搜了不少资料&#x…...
2022/11/19 21:17:04 - 一个电脑无法关闭计算机你应该怎么办,电脑显示“清理请勿关闭计算机”怎么办?...
本文为你提供了3个有效解决电脑显示“清理请勿关闭计算机”问题的方法,并在最后教给你1种保护系统安全的好方法,一起来看看!电脑出现“清理请勿关闭计算机”在Windows 7(SP1)和Windows Server 2008 R2 SP1中,添加了1个新功能在“磁…...
2022/11/19 21:17:03 - 请勿关闭计算机还原更改要多久,电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机怎么办...
许多用户在长期不使用电脑的时候,开启电脑发现电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机。。.这要怎么办呢?下面小编就带着大家一起看看吧!如果能够正常进入系统,建议您暂时移…...
2022/11/19 21:17:02 - 还原更改请勿关闭计算机 要多久,配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以...
配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机&#x…...
2022/11/19 21:17:01 - 电脑配置中请勿关闭计算机怎么办,准备配置windows请勿关闭计算机一直显示怎么办【图解】...
不知道大家有没有遇到过这样的一个问题,就是我们的win7系统在关机的时候,总是喜欢显示“准备配置windows,请勿关机”这样的一个页面,没有什么大碍,但是如果一直等着的话就要两个小时甚至更久都关不了机,非常…...
2022/11/19 21:17:00 - 正在准备配置请勿关闭计算机,正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了解决教程...
当电脑出现正在准备配置windows请勿关闭计算机时,一般是您正对windows进行升级,但是这个要是长时间没有反应,我们不能再傻等下去了。可能是电脑出了别的问题了,来看看教程的说法。正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了方法一…...
2022/11/19 21:16:59 - 配置失败还原请勿关闭计算机,配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机...
我们使用电脑的过程中有时会遇到这种情况,当我们打开电脑之后,发现一直停留在一个界面:“配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机”,等了许久还是无法进入系统。如果我们遇到此类问题应该如何解决呢࿰…...
2022/11/19 21:16:58 - 如何在iPhone上关闭“请勿打扰”
Apple’s “Do Not Disturb While Driving” is a potentially lifesaving iPhone feature, but it doesn’t always turn on automatically at the appropriate time. For example, you might be a passenger in a moving car, but your iPhone may think you’re the one dri…...
2022/11/19 21:16:57