题目背景

1997年普及组第一题

题目描述

有一个 n×m 方格的棋盘，求其方格包含多少正方形、长方形（不包含正方形）。

输入格式

一行，两个正整数 n,mn,m（n \leq 5000,m \leq 5000n≤5000,m≤5000）。

输出格式

一行，两个正整数，分别表示方格包含多少正方形、长方形（不包含正方形）。

输入输出样例

输入 #1复制

2 3

输出 #1复制

8 10

思路简介：

此类有限解的题通过枚举来做比较简单粗暴，难点是枚举题的三步走：

一、找到合适的枚举变量，合适便是指，当有多个可能的枚举变量时，思考能否简化枚举量，往往结合数学思想，一般有几个枚举变量便有几重循环；

二、确定枚举变量的范围；

三、确定如何对枚举变量进行操作和判断。

比如此处，有多种枚举变量可以选择，如棋盘中的点，线等等。但显然此处可以利用数学公式大大优化思路。棋盘中的矩形个数显然是好求的，利用高中数学的排列组合。矩形有四条边，两横两竖。棋盘由n*m个小方格组成，有n+1竖线，m+1横线。分别从竖线中选2条（与顺序无关）所以总的矩形个数就是。

而显然矩形除了正方形就是长方形，即矩形个数=正方形个数+长方形个数。且正方形要求四边相等，所以更加好求。用矩形的个数减去正方形的个数显然就得到了长方形的个数。

那怎么求正方形个数呢？可利用正方形的四边长相等，那怎么确定枚举变量呢？是看边还是点呢？枚举题要尽量的思考如何优化枚举变量和对枚举变量的判断和操作。对于此题，在棋盘中，我们可利用以正方形的边长的长度作为枚举变量，正方形的边长显然是从1开始，而最大边长取决于min{n，m}。这样一分析，我们就完成了解枚举题的第一步和第二步，即找到合适的枚举变量和其范围。最重要也是最“麻烦”的第三步，便是确定如何对枚举变量进行操作和判断。

 在此处，“难点”便是如何确定边长为确定值时在矩形中有多少个正方形。我们都知道，正方形也只不过是特殊的矩形，既然我们前面在利用竖线x横线的方式确定矩形的个数，我们同样也可以利用此方法来确定当边长确定时正方形的个数。也可以其他方法，比如，矩形显然也是由矩形构成的，最小的矩形便是只有一条边的正方形，所以显然可以用递归，一层层递归。其实也可以用公式法，对于解决这个问题，有个公式需要知道，假设一个矩阵长为5，宽为4，那么求一个矩形中的正方形个数公式为：4*5+【(4-1)(5-1)】+【（4-2)(5-2)】+【（4-3)(5-3)】,因为（4-4）*（5-4）是0，没实际意义，所以不需要再继续。所以i的范围是1到min{n,m}。

AC代码如下

​#include<stdio.h>
long m,n,x,y;//在32位编译系统int和long都是占4字节，但64位long是占8字节，洛谷的编译系统应该是64位的。变量都开long一来是为了压行，二来是为了防止在计算矩形个数时数据溢出。
long min(long a,long b) {return a<b?a:b;
}
int main() {scanf("%ld%ld",&m,&n);x=((m+1)*m/2)*((n+1)*n/2);//x记录矩形的总个数for(long i=1; i<= min(m,n); i++) {//i作为枚举变量，代表正方形的边长y+=(m-i+1)*(n-i+1);//y记录正方形的个数}printf("%ld %ld", y, x-y);//x-y便是长方形的个数return 0;
}​