【OpenCV 完整例程】71. 连续函数的取样

欢迎关注 『OpenCV 完整例程 100 篇』 系列，持续更新中
欢迎关注 『Python小白的OpenCV学习课』 系列，持续更新中

1.2 连续函数的取样

连续函数必须经过取样和量化转换为离散函数，才能用计算机进行处理。

考虑一个连续函数 $f(t)$，以自变量 t 的均匀间隔 $\Delta T$ 对函数取样，取样序列中的任意取样值为：

$$f_k={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)\delta (t-k\Delta T)dt=f(k\Delta T)$$

取样后的函数的傅里叶变换为：

$$\begin{array}{rl}\tilde{F}(\mu )& =(F\star S)(\mu )\\ & ={\int }_{-\infty }^{+\infty }F(\tau )S(\mu -\tau )d\tau \\ & =\frac{1}{\Delta T}\sum _{n=-\infty }^{\infty }F(\mu -\frac{n}{\Delta T})\end{array}$$

香农（Shannon）取样定理指出，对于一个连续信号，用大于信号最高频率 2倍的取样率来取样，则不会丢失信号的有效信息。
或者说，以 $1/\Delta T$ 的取样率对信号取样点的的最大频率是 ${\mu }_{max}=1/2\Delta T$ 。

例程 8.4：连续函数的取样

    # 8.4：连续函数的取样# 定义函数，用于计算所有基矢的频率def gen_freq(N, fs):k = np.arange(0, np.floor(N/2) + 1, 1)return (k * fs) / NT = 100# 定义多个不同频率的基频信号fk = [2/T, 5/T, 12/T]  # 频率A = [7, 3, 2]  # 振幅phi = [np.pi, 2, 2*np.pi]  # 初始相位n = np.arange(T)s0 = A[0] * np.sin(2 * np.pi * fk[0] * n + phi[0])s1 = A[1] * np.sin(2 * np.pi * fk[1] * n + phi[1])s2 = A[2] * np.sin(2 * np.pi * fk[2] * n + phi[2])s = s0 + s1 + s2  # 叠加生成混合信号g = np.fft.rfft(s)  # 傅里叶变换plt.figure(figsize=(8, 6))plt.subplot(311)plt.plot(n, s0, n, s1, n, s2, ':', marker='+', alpha=0.5)plt.plot(n, s, 'r-', lw=2)plt.title("Sampling of continuous functions")plt.subplot(312)fs = 1  # 采样间隔为 1freq = gen_freq(T, fs=fs)  # 计算频率序列ck = np.abs(g) / T  # 计算振幅plt.plot(freq, ck, '.')  # 频率-振幅图for f in fk:ck0 = round(ck[np.where(freq==f*fs)][0], 1)plt.annotate('$({},{})$'.format(f*fs, ck0), xy=(f*fs, ck0), xytext=(5, -10), textcoords='offset points')plt.subplot(313)fs = 10  # 采样间隔为 10freq = gen_freq(T, fs=fs)  # 计算频率序列ck = np.abs(g) / T  # 计算振幅plt.plot(freq, ck, '.')  # 频率-振幅图for f in fk:ck0 = round(ck[np.where(freq==f*fs)][0], 1)plt.annotate('$({},{})$'.format(f*fs, ck0), xy=(f*fs, ck0), xytext=(5, -10), textcoords='offset points')plt.show()

---

（本节完）

---

版权声明：

youcans@xupt 原创作品，转载必须标注原文链接

Copyright 2021 youcans, XUPT

Crated：2022-1-15

欢迎关注 『OpenCV 完整例程 100 篇』 系列，持续更新中
欢迎关注 『Python小白的OpenCV学习课』 系列，持续更新中

【OpenCV 完整例程】01. 图像的读取（cv2.imread）
【OpenCV 完整例程】02. 图像的保存（cv2.imwrite）
【OpenCV 完整例程】03. 图像的显示（cv2.imshow）
【OpenCV 完整例程】04. 用 matplotlib 显示图像（plt.imshow）
【OpenCV 完整例程】05. 图像的属性（np.shape）
【OpenCV 完整例程】06. 像素的编辑（img.itemset）
【OpenCV 完整例程】07. 图像的创建（np.zeros）
【OpenCV 完整例程】08. 图像的复制（np.copy）
【OpenCV 完整例程】09. 图像的裁剪（cv2.selectROI）
【OpenCV 完整例程】10. 图像的拼接（np.hstack）
【OpenCV 完整例程】11. 图像通道的拆分（cv2.split）
【OpenCV 完整例程】12. 图像通道的合并（cv2.merge）
【OpenCV 完整例程】13. 图像的加法运算（cv2.add）
【OpenCV 完整例程】14. 图像与标量相加（cv2.add）
【OpenCV 完整例程】15. 图像的加权加法（cv2.addWeight）
【OpenCV 完整例程】16. 不同尺寸的图像加法
【OpenCV 完整例程】17. 两张图像的渐变切换
【OpenCV 完整例程】18. 图像的掩模加法
【OpenCV 完整例程】19. 图像的圆形遮罩
【OpenCV 完整例程】20. 图像的按位运算
【OpenCV 完整例程】21. 图像的叠加
【OpenCV 完整例程】22. 图像添加非中文文字
【OpenCV 完整例程】23. 图像添加中文文字
【OpenCV 完整例程】23. 图像添加中文文字
【OpenCV 完整例程】24. 图像的仿射变换
【OpenCV 完整例程】25. 图像的平移
【OpenCV 完整例程】26. 图像的旋转（以原点为中心）
【OpenCV 完整例程】27. 图像的旋转（以任意点为中心）
【OpenCV 完整例程】28. 图像的旋转（直角旋转）
【OpenCV 完整例程】29. 图像的翻转（cv2.flip）
【OpenCV 完整例程】30. 图像的缩放（cv2.resize）
【OpenCV 完整例程】31. 图像金字塔（cv2.pyrDown）
【OpenCV 完整例程】32. 图像的扭变（错切）
【OpenCV 完整例程】33. 图像的复合变换
【OpenCV 完整例程】34. 图像的投影变换
【OpenCV 完整例程】35. 图像的投影变换（边界填充）
【OpenCV 完整例程】36. 直角坐标与极坐标的转换
【OpenCV 完整例程】37. 图像的灰度化处理和二值化处理
【OpenCV 完整例程】38. 图像的反色变换（图像反转）
【OpenCV 完整例程】39. 图像灰度的线性变换
【OpenCV 完整例程】40. 图像分段线性灰度变换
【OpenCV 完整例程】41. 图像的灰度变换（灰度级分层）
【OpenCV 完整例程】42. 图像的灰度变换（比特平面分层）
【OpenCV 完整例程】43. 图像的灰度变换（对数变换）
【OpenCV 完整例程】44. 图像的灰度变换（伽马变换）
【OpenCV 完整例程】45. 图像的灰度直方图
【OpenCV 完整例程】46. 直方图均衡化
【OpenCV 完整例程】47. 图像增强—直方图匹配
【OpenCV 完整例程】48. 图像增强—彩色直方图匹配
【OpenCV 完整例程】49. 图像增强—局部直方图处理
【OpenCV 完整例程】50. 图像增强—直方图统计量图像增强
【OpenCV 完整例程】51. 图像增强—直方图反向追踪
【OpenCV 完整例程】52. 图像的相关与卷积运算
【OpenCV 完整例程】53. Scipy 实现图像二维卷积
【OpenCV 完整例程】54. OpenCV 实现图像二维卷积
【OpenCV 完整例程】55. 可分离卷积核
【OpenCV 完整例程】56. 低通盒式滤波器
【OpenCV 完整例程】57. 低通高斯滤波器
【OpenCV 完整例程】58. 非线性滤波—中值滤波
【OpenCV 完整例程】59. 非线性滤波—双边滤波
【OpenCV 完整例程】60. 非线性滤波—联合双边滤波
【OpenCV 完整例程】61. 导向滤波（Guided filter）
【OpenCV 完整例程】62. 图像锐化——钝化掩蔽
【OpenCV 完整例程】63. 图像锐化——Laplacian 算子
【OpenCV 完整例程】64. 图像锐化——Sobel 算子
【OpenCV 完整例程】65. 图像锐化——Scharr 算子
【OpenCV 完整例程】66. 图像滤波之低通/高通/带阻/带通
【OpenCV 完整例程】67. 空间域图像增强的综合应用
【OpenCV 完整例程】68. 空间域图像增强的综合应用
【OpenCV 完整例程】69. 连续非周期信号的傅立叶系数
【OpenCV 完整例程】70. 一维连续函数的傅里叶变换
【OpenCV 完整例程】71. 连续函数的取样