清华大学本科生微积分 A(1)(B)考试试题

• 清华大学本科生微积分期末考试 试题：2021

清华大学2021年微积分期末考试题及解答，大家看看题目和自己学校考题差别在哪里？欢迎大家评论区讨论，说说你们的看法。

 

§01 填空题

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每空3分，请将答案直接填写在答题卡相应的横线上。

1.1 求函数渐近线

请写出下面函数的 斜渐近线 ：        。

$$y=x\ln \left(e+\frac{1}{x^2}\right)$$

1.2 求解极限

请写出下面公式极限取值：        。
$$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{\sqrt{n}}\left(\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{2}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}\right)$$

1.3 函数导数取值

请写出下面函数 $F\left(x\right)$ 导数在 1 处的取值， $F^{\prime }\left(1\right)=$         。

$$F\left(x\right)={\int }_0^{x^2}\cos \left(\pi t^2\right)dt$$

1.4 求函数定积分

设 $f\left(x\right)=\min \left\{x^2,1\right\}$ ，则 ${\int }_0^{2}f\left(x\right)dx=$         。

1.5 求微分方程通解

常微分方程 $y^{\prime }+2xy=2x$ 的通解为：        。

1.6 求函数定积分

下面公式的定积分为：        。
$${\int }_0^{+\infty }\frac{dx}{e^x+1}=$$

1.7 求常微分方程通解

常微分方程 $x^2{y}^{\prime \prime }+x{y}^{\prime }-4y=0,\left(x>0\right)$ 的通解为：        。

1.8 求积分收敛参数取值

设 $p>0$ ，下面广义积分收敛，则实数 $p$ 的取值范围为：        。

$${\int }_0^{+\infty }{x}^2\ln \left(1+\sin \frac{1}{x^p}\right)dx$$

1.9 求旋转面面积

由下面曲线段绕 $x$ 轴旋转一周所成旋转面的面积为：        。

$$y=\sqrt{x-\frac{1}{4}},x\in \left[1,4\right]$$

1.10 求函数导数取值

设连续函数 $f\left(x\right)$ 满足下面方程，则 $f^{\prime }\left(1\right)=$         。
$$2{\int }_1^{x}f\left(t\right)dt=xf\left(x\right)+x^2$$

 

§02 解答题

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请写出详细的加大过程和必要的根据！

2.1 求定积分的值（10分）

求下面就陈峰的值。

$${\int }_0^e\cos \left(\ln x\right)dx$$

2.2 求常微分方程通解（10分）

求常微分方程 $y^{\prime \prime }-3y^{\prime }+2y=e^x$ 的通解。

2.3 求函数特殊区间和拐点（15分）

求下面函数的单调区间，极值，上凸区间，下凸区间以及拐点的横坐标。

$$y=4e^{-x}\left(2x^2+x+1\right)-5$$

2.4 分析区域面积和旋转体积（10分）

设 $D$ 为 $y=\sqrt{x\left(1-x\right)}$ 与 $x$ 轴围城的有界区域。

（1）求 $D$ 的面积；
（2）求 $D$ 绕 $x$ 轴一周所成旋转体体积；

2.5 求函数表达式（10分）

设平面曲线 $y=y\left(x\right)$ 满足 $y\left(0\right)=1,y^{\prime }\left(0\right)=0$ ，且对曲线上任意点 $P\left(x,y\right),\left(x>0\right)$ ，沿曲线从点 $\left(0,1\right)$ 到点 $P\left(x,y\right)$ 的弧长等于该曲线在点 $P\left(x,y\right)$ 的切线斜率，求： $y\left(x\right),\left(x>0\right)$ 。

2.6 证明题（8分）

设 $f\left(x\right)$ 是 $\mathbf{R}$ 上一 $T$ 为周期的周期函数，且连续，证明：

（1）下面函数是以 $T$ 为周期的周期函数；
$$F\left(x\right)={\int }_0^{x}f\left(t\right)dt-\frac{x}{T}{\int }_0^{T}f\left(t\right)dt$$

（2）$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x}{\int }_0^{x}f\left(t\right)dt=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}f\left(t\right)dt$$

2.7 证明题（7分）

设可导函数 $f\left(x\right)$ 满足： $f\left(1\right)=1$ ，且对 $x\ge 1$ 时，有：$$f^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{x^2+f^2\left(x\right)}$$

（1）证明： $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$ 存在且有限；

（2）证明： $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)\le 1+\frac{\pi }{4}$

 

§03 附加题

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本题为附加题，全队才给分。其分数不计入总评，仅用于平判 $A^{+}$ 。

3.1 证明题

设 $f\in C\left[0,1\right]$ ， $g$ 为非负的周期函数，周期为1，且 $g\in R\left[0,1\right]$ ，求证：$$\underset{n\to +\infty }{\lim }{\int }_0^{1}f\left(x\right)g\left(nx\right)dx=\left({\int }_0^{1}f\left(x\right)dx\right)\left({\int }_0^{1}g\left(x\right)dx\right)$$