多元高斯分布：

一元高斯分布：(将多元高斯分布中的D取值1）

 其中代表的是平均值，是方差的平方，也可以用来表示，是一个对称正定矩阵。

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一.不同的平均值对二元高斯分布的影响：

平均值不同时，高斯分布的中心不一样。

二. 不同协方差矩阵对于高斯分布的影响：

                     [[2,0],[0,2]]                                   [[2,1],[1,2]]                              [[2,-1],[-1,2]]

 1.各向同性的，协方差矩阵的对角线上的值相等，非对角线上的值为0，它的概率密度函数画出来就是一个圆。

2.正相关的，概率密度函数主要分布在第一，三象限。

3.负相关的，概率密度函数主要分布在第二，四象限。

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代码一：由一个高斯分布得到另一个高斯分布。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
C = np.array([[2.0,1.0],[1.0,2]])
eigv, eigV= np.linalg.eig(C)
print("eigv:",eigv)
print("eigV:",eigV)
A = np.linalg.cholesky(C)
print(A)
print(A @ A.T)X = np.random.randn(1000,2) # X是符合均值为0，方差为1的标准高斯分布
print("var of X:",np.var(X))
Y = X @ A.T
print(X.shape)
print(Y.shape)fig, ax = plt.subplots(figsize=(5,5))
ax.scatter(X[:,0], X[:,1], c="c", s=4)
ax.scatter(Y[:,0], Y[:,1], c="m", s=4)
ax.set_xlim(-6, 6)
ax.set_ylim(-6, 6)
plt.savefig('Multi-variate Gaussian')

Cholesky分解C： C= A*A.T ，然后后一步Y = A * X

相当于对X进行线性变换：,

若Y满足, 则

因此在上面的代码中

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 代码二：由高斯分布的概率密度公式得到高斯分布图像

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def gauss2D(x,m,C):Ci = np.linalg.inv(C)  #协方差的逆dC = np.linalg.det(C) #矩阵的行列式num = np.exp(-0.5*np.dot((x-m).T, np.dot(Ci, (x-m))))den = 2 * np.pi * (dC**0.5)return num/dendef twoDGaussianPlot(nx, ny, m, C):x = np.linspace(-6, 6, nx)y = np.linspace(-6, 6, ny)X, Y = np.meshgrid(x, y, indexing='ij')Z = np.zeros([nx,ny])for i in range(nx):for j in range(ny):xvec = np.array([X[i,j], Y[i,j]])Z[i,j] = gauss2D(xvec, m, C)return X, Y, Znx, ny = 50, 40
m1 = np.array([0,0]) #平均值是[0,2]
C1 = np.array([[2,-1],[-1,2]], np.float32) #C1是协方差矩阵
Xp, Yp, Zp = twoDGaussianPlot(nx, ny, m1, C1)print(Zp)fig, ax = plt.subplots(figsize=(5,5))
plt.contour(Xp,Yp,Zp,5)
plt.axis('equal')
plt.grid()
ax.set_xlim(-5,5)
ax.set_ylim(-5,5)
#自己画的3维图
fig, ax2 = plt.subplots(figsize=(5,5))
ax2 = plt.axes(projection='3d')xx = Xp.reshape(2000,)
yy = Yp.reshape(2000,)
zz = Zp.reshape(2000,)
ax2.scatter3D(xx,yy,zz,c=zz,cmap='Greens')