算法题放苹果:把M个相同的苹果放到N个完全相同的盘子里,有多少种放法?
文章目录
- 题目描述
- 题解
- 思路1 暴力递归
- 思路2:缓存思想——动态规划来优化暴力递归
题目描述
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题解
思路1 暴力递归
我们利用递归来解决这个问题,不妨这样思考,假设apples表示当前剩余的苹果数,plates表示当前剩余的盘子数,ways(apples, plates)表示以apples个苹果放进plates个盘子里的方法数。
如果apples==0,说明当前苹果都已经放完了,既然放完了,不管剩不剩盘子,这都是一种放的方法,向上一层返回1;
否则apples不为0的时候,如果plates==0了,盘子已经被用完了但是苹果没放完,这种情况显然是摆放失败了,不是一种摆放的方法,向上一层返回0;
再考虑一种特殊情况,当盘子数大于苹果数时,那么苹果怎样也不可能放到多出来的盘子上,这种情况下的摆放方法数显然和盘子减少为plates−applesplates-applesplates−apples个,apples个苹果的摆放方法数是一样多的,因此
if(apples<plates),ways(apples,plates)=ways(apples,plates−apples)if (apples <plates),\\ways(apples, plates)=ways(apples,plates-apples) if(apples<plates),ways(apples,plates)=ways(apples,plates−apples)
当剩余的苹果数量大于盘子数量时,我们有两种互斥的摆法:
一种,我们用上所有的盘子,也就是先让所有的盘子都摆上一个苹果,那么这种方式的摆法数量a显然等于ways(apples−plates,plates)ways(apples - plates, plates)ways(apples−plates,plates);
另一种方法,我们不用上所有的盘子,那么怎么才能不用上所有的盘子呢?先放弃一个盘子,剩下的盘子是放弃还是保留交给递归来讨论。也就是说,不完全使用所有盘子的摆放方法数量b等于ways(apples,plates−1)ways(apples, plates - 1)ways(apples,plates−1).
这两种情况显然是互斥的,所以他们的方法数可以直接相加,也就是说
if(apples>plates)ways(apples,plates)=ways(apples−plates,plates)+ways(apples,plates−1)if (apples>plates)\\ ways(apples,plates)=ways(apples-plates,plates)\\+ways(apples, plates-1) if(apples>plates)ways(apples,plates)=ways(apples−plates,plates)+ways(apples,plates−1)
代码:
int ways(int apples, int plates)
{//apples个完全相同的苹果放到plates个完全相同的盘子里//有多少种方法//如果苹果用完了 说明摆放结束了 返回一种摆法if (apples == 0) {return 1;}//如果plates等于0了 apples不等于0还 那么说明没有盘子用了//0种摆法if (plates == 0) {return 0;}//如果盘子数大于苹果数 那么多出来的盘子不论什么摆法一定空着//这种情况下的摆法数等于把多出来的盘子都不考虑的摆法数if (plates > apples) {return ways(apples, apples);}//当苹果数大于盘子数的时候 有两种方法//1) 我们把所有的盘子都使用 那么相当于先往所有盘子上都放一个苹果// 这种方法的方法数等于ways(apples - plates, plates)int a = ways(apples - plates, plates);//2) 我们让盘子不全都使用 那么就敲碎一个盘子 //剩下的盘子全用还是敲碎一个 总可能方法数用递归去讨论int b = ways(apples, plates - 1);//这两种情况显然是互斥的 所以数量可以直接加return a + b;
}
思路2:缓存思想——动态规划来优化暴力递归
所有的暴力递归的展开过程都可以用动态规划来优化.我们想想递归是怎么解决问题的,比如遇到ways(7, 5),它是展开为ways(7,4)和ways(2,5)来解决的,然后ways(2,5)和ways(7,4)再接着展开,那如果我们之前早就计算过ways(2,5)了呢,如果已经计算过一次了,还有必要再接着展开吗?直接用上次计算的结果不就好了,这样不就可以把递归层数变浅了吗。
那么怎么记录上次计算的结果呢?这里可以用一个二维数组dp缓存存起来,并且考虑到多组输入问题,我们可以把创建二维数组dp的过程放到执行ways方法外头,这样下一组输入也可以使用我们上一轮计算过的值。
为了和0种方法区分,我们不妨先让dp的所有值都赋-1,表示尚未计算过,在递归的每一层都检查当前层中dp的是否不等于-1,如果是,说明这层没必要继续展开下去了,已经计算过了,返回dp[apples][plates]dp[apples][plates]dp[apples][plates],否则再执行展开过程,并且最后把这一层的计算结果记录到dp中作为缓存。
代码:
#include <vector>
#include <iostream>
using namespace std;
int ways(int apples, int plates, vector<vector<int>>& dp)
{if (dp[apples][plates] != -1){return dp[apples][plates];}int ans = 0;if (apples == 0){ans = 1;}else if (plates == 0){ans = 0;}else if (apples < plates){ans = ways(apples, apples, dp);}else{int a = ways(apples - plates, plates, dp);int b = ways(apples, plates - 1, dp);ans = a + b;}dp[apples][plates] = ans;return ans;
}int main()
{int apples, plates;vector<vector<int>> dp(11, vector<int>(11, -1));while (cin >> apples >> plates){cout << ways(apples, plates, dp) << endl;}return 0;
}
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2022/11/19 21:17:05 - 钉钉提示请勿通过开发者调试模式_钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用...
钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用 更新时间:2020-04-20 22:24:19 浏览次数:729次 区域: 南阳 > 卧龙 列举网提醒您:为保障您的权益,请不要提前支付任何费用! 虚拟位置外设器!!轨迹模拟&虚拟位置外设神器 专业用于:钉钉,外勤365,红圈通,企业微信和…...
2022/11/19 21:17:05 - 配置失败还原请勿关闭计算机怎么办,win7系统出现“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”,长时间没反应,无法进入系统的解决方案...
前几天班里有位学生电脑(windows 7系统)出问题了,具体表现是开机时一直停留在“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”这个界面,长时间没反应,无法进入系统。这个问题原来帮其他同学也解决过,网上搜了不少资料&#x…...
2022/11/19 21:17:04 - 一个电脑无法关闭计算机你应该怎么办,电脑显示“清理请勿关闭计算机”怎么办?...
本文为你提供了3个有效解决电脑显示“清理请勿关闭计算机”问题的方法,并在最后教给你1种保护系统安全的好方法,一起来看看!电脑出现“清理请勿关闭计算机”在Windows 7(SP1)和Windows Server 2008 R2 SP1中,添加了1个新功能在“磁…...
2022/11/19 21:17:03 - 请勿关闭计算机还原更改要多久,电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机怎么办...
许多用户在长期不使用电脑的时候,开启电脑发现电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机。。.这要怎么办呢?下面小编就带着大家一起看看吧!如果能够正常进入系统,建议您暂时移…...
2022/11/19 21:17:02 - 还原更改请勿关闭计算机 要多久,配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以...
配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机&#x…...
2022/11/19 21:17:01 - 电脑配置中请勿关闭计算机怎么办,准备配置windows请勿关闭计算机一直显示怎么办【图解】...
不知道大家有没有遇到过这样的一个问题,就是我们的win7系统在关机的时候,总是喜欢显示“准备配置windows,请勿关机”这样的一个页面,没有什么大碍,但是如果一直等着的话就要两个小时甚至更久都关不了机,非常…...
2022/11/19 21:17:00 - 正在准备配置请勿关闭计算机,正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了解决教程...
当电脑出现正在准备配置windows请勿关闭计算机时,一般是您正对windows进行升级,但是这个要是长时间没有反应,我们不能再傻等下去了。可能是电脑出了别的问题了,来看看教程的说法。正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了方法一…...
2022/11/19 21:16:59 - 配置失败还原请勿关闭计算机,配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机...
我们使用电脑的过程中有时会遇到这种情况,当我们打开电脑之后,发现一直停留在一个界面:“配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机”,等了许久还是无法进入系统。如果我们遇到此类问题应该如何解决呢࿰…...
2022/11/19 21:16:58 - 如何在iPhone上关闭“请勿打扰”
Apple’s “Do Not Disturb While Driving” is a potentially lifesaving iPhone feature, but it doesn’t always turn on automatically at the appropriate time. For example, you might be a passenger in a moving car, but your iPhone may think you’re the one dri…...
2022/11/19 21:16:57