本部分答案针对第4章Poly的最后一个习题，church数有关的函数定义与定理证明，因为需要一些准备知识，因此单独形成一节进行介绍。

一、church数

church数是lambda演算的一个应用，在介绍church数之前，先对lambda演算进行一个简单的介绍。

1.1 λ 表达式/项

变量(Variable) 形式：x
变量名可能是一个字符或字符串，它表示一个参数（形参）或者一个值（实参）
抽象(Abstraction) 形式：λx.M
它表示获取一个参数x并返回M的lambda函数，M是一个合法lambda表达式，且符号λ和.表示绑定变量x于该函数抽象的函数体M。简单来说就是表示一个形参为x的函数M。
应用(Application) 形式：M N
它表示将函数M应用于参数N，其中M、N均为合法lambda表达式。简单来说就是给函数M输入实参N。

1.2 λ 归约

α 转换
一个lambda函数抽象在更名绑定变量前后是等价的，即：
α: λx.x ≡ λy.y
β 归约
一个lambda函数抽象中自由变量的替换
β: ((λV.E) E′) ≡ E[V := E′]
η 归约
清除lambda表达式中存在的冗余函数抽象
η：λx.M x ≡ M

1.3 church数

应用某个函数的次数(因此为非负的整数)——丘奇数(Church Numeral)。基本形式如下：

二、Coq中的church数

接下来我们完成Coq中church数相关定义于定理的证

2.1 基本定义

在Coq中对于church数的基本定义如下：

Definition cnat := forall X : Type, (X -> X) -> X -> X.
Definition one : cnat := fun (X : Type) (f : X -> X) (x : X) => f x.
Definition two : cnat := fun (X : Type) (f : X -> X) (x : X) => f (f x).
Definition zero : cnat := fun (X : Type) (f : X -> X) (x : X) => x.

我们看cnat的定义，对于任意类型X，定义一个X -> X的函数，在给出一个属于X的变量，得出最终一个属于X类型的值，这就是一个基本的church数。我们观察对zero、one、two的定义，都符合这样的定义方式。

2.2 练习1，church_succ

定义church数中的后继succ函数，输入一个cnat类型的数，同时也输出一个cnat类型。

Definition succ (n : cnat) : cnat :=fun (X : Type) (f : X -> X) (x : X) => f (n X f x).
Example succ_1 : succ zero = one.
Proof. reflexivity. Qed.
Example succ_2 : succ one = two.
Proof. reflexivity. Qed.
Example succ_3 : succ two = three.
Proof. reflexivity. Qed.

要怎么理解这里的f (n X f x)，X和f在=>给出了定义，我们知道cnat的类型为forall X : Type, (X -> X) -> X -> X。所以，看括号里的(n X f x)，我们对于cnat类型变量给出了X,（X->X）也就是f，和属于X的变量x，那么(n X f x)的输出也一定是个属于类型X的值，在外面加上f，结果同样是属于类型X的值。完成succ的定义。

2.3 练习2，church_plus

同样的，church_plus的定义如下;

Definition plus (n m : cnat) : cnat :=fun (X : Type) (f : X -> X) (x : X) => (n X f (m X f x)).
Example plus_1 : plus zero one = one.
Proof. reflexivity. Qed.
Example plus_2 : plus two three = plus three two.
Proof. reflexivity. Qed.
Example plus_3 :plus (plus two two) three = plus one (plus three three).
Proof. reflexivity. Qed.
Definition four : cnat :=fun (X : Type) (f : X -> X) (x : X) => f (f (f (f x))).
Example plus_4 :plus two two = four.
Proof. reflexivity. Qed.

比较简单，因为前面只定义了zero、one、two，所以例子的验证就是不断在加这3个完成验证，我们定义了four，也证明plus two two = fou，从而说明我们plus 的定义是正确的。

2.4 练习3，church_mult

乘法的关键是对f的变换，nm既是对n中的f变为m次f，从而万册灰姑娘nm的计算，代码如下：

Definition mult (n m : cnat) : cnat :=fun (X : Type) (f : X -> X) (x : X) => n X (m X f) x.
Example mult_1 : mult one one = one.
Proof. reflexivity. Qed.
Example mult_2 : mult zero (plus three three) = zero.
Proof. reflexivity. Qed.
Example mult_3 : mult two three = plus three three.
Proof. reflexivity. Qed.
Definition six : cnat :=fun (X : Type) (f : X -> X) (x : X) =>  f (f (f (f (f (f x))))).
Example mult_4 : mult two three = six.
Proof. reflexivity. Qed.

2.5 练习4，church_exp

这里本书作者给了提示。“Hint: Polymorphism plays a crucial role here.”。多态是关键，那么我们很自然的就会想到类型的多态。后面作者又说“choosing the right type to iterate over can be tricky.”所以，这里我们知道，关键就是类型X的变换，代码如下：

Definition exp (n m : cnat) : cnat :=fun X => (m (X->X)) (n X).
Example exp_1 : exp two two = plus two two.
Proof. reflexivity. Qed.
Example exp_2 : exp three zero = one.
Proof. reflexivity. Qed.
Example exp_3 : exp three two = plus (mult two (mult two two)) one.
Proof. reflexivity. Qed.

之前留下的一部分LF第四章POLY答案的小尾巴，这里和大家分享。针对Coq的学习，学习完前4章其实已经差不多可以开始一些实际代码的形式化验证工作了，大家可以看相关论文学习验证思路与方法了。Software Foundations也已经从之前的4本书变成了6本书，Coq社区的建设也更加完善。书中多次强调不要分享代码，之后我也就不在网上分享相应的代码了，有学习Coq的小伙伴欢迎留言交流。