概念

今天我们来看一个没有前几篇讲的那么常用，但是很有用的算法：匈牙利算法（Hungarian algorithm）。匈牙利算法主要用于解决一些与二分图匹配有关的问题，所以我们先来了解一下二分图。

二分图（Bipartite graph）是一类特殊的图，它可以被划分为两个部分，每个部分内的点互不相连。下图是典型的二分图。

可以看到，在上面的二分图中，每条边的端点都分别处于点集X和Y中。匈牙利算法主要用来解决两个问题：求二分图的最大匹配数和最小点覆盖数。

这么说起来过于抽象了，我们现在从实际问题出发。

最大匹配问题

看完上面讲的，相信读者会觉得云里雾里的：这是啥？这有啥用？所以我们把这张二分图稍微做点手脚，变成下面这样：
现在Boys和Girls分别是两个点集，里面的点分别是男生和女生，边表示他们之间存在“暧昧关系"。最大匹配问题相当于，假如你是红娘，可以撮合任何一对有暧昧关系的男女，那么你最多能成全多少对情侣？（数学表述：在二分图中最多能找到多少条没有公共端点的边）

现在我们来看看匈牙利算法是怎么运作的：

我们从B1看起（男女平等，从女生这边看起也是可以的），他与G2有暧昧，那我们就先暂时把他与G2连接（注意这时只是你作为一个红娘在纸上构想，你没有真正行动，此时的安排都是暂时的）。
来看B2，B2也喜欢G2，这时G2已经“名花有主”了（虽然只是我们设想的），那怎么办呢？我们倒回去看G2目前被安排的男友，是B1，B1有没有别的选项呢？有，G4，G4还没有被安排，那我们就给B1安排上G4。

然后B3，B3直接配上G1就好了，这没什么问题。至于B4，他只钟情于G4，G4目前配的是B1。B1除了G4还可以选G2，但是呢，如果B1选了G2，G2的原配B2就没得选了。我们绕了一大圈，发现B4只能注定单身了，可怜。（其实从来没被考虑过的G3更可怜）

int M, N;            //M, N分别表示左、右侧集合的元素数量
int Map[MAXM][MAXN]; //邻接矩阵存图
int p[MAXN];         //记录当前右侧元素所对应的左侧元素
bool vis[MAXN];      //记录右侧元素是否已被访问过
bool match(int i)
{for (int j = 1; j <= N; ++j)if (Map[i][j] && !vis[j]) //有边且未访问{vis[j] = true;                 //记录状态为访问过if (p[j] == 0 || match(p[j])) //如果暂无匹配，或者原来匹配的左侧元素可以找到新的匹配{p[j] = i;    //当前左侧元素成为当前右侧元素的新匹配return true; //返回匹配成功}}return false; //循环结束，仍未找到匹配，返回匹配失败
}
int Hungarian()
{int cnt = 0;for (int i = 1; i <= M; ++i){memset(vis, 0, sizeof(vis)); //重置vis数组if (match(i))cnt++;}return cnt;
}

素数伴侣问题

public class Main{/**** @param map 给定的二分图，map[i][j]等于1表示i到j连通，为0则表示不连通* @param used* @param linked linked[j]=i 表示顶点j到顶点i连接* @param i 当前i顶点出发，寻找增广路径* @return 如果能找到顶点start开始的增广路径则返回true，否则返回false*/public boolean dfs(int[][] map,boolean[] used,int[] linked,int i){for(int j=0;j<linked.length;j++){if(used[j] == false && map[i][j] == 1){ // 如果j没有被访问过，并且i和j连通used[j] = true; // 标记为访问过if(linked[j]==-1 || dfs(map,used,linked,linked[j])){    // 如果顶点j没有到左边顶点的连接或者，顶点j连接的左边顶点i可以找到其他增广路径linked[j] = i;  // 则将顶点j和顶点i连接return true;}}}return false;}/*** 判断数i是否为素数*/public boolean isPrime(int num){for(int i=2;i<=Math.sqrt(num);i++){if(num % i == 0){return false;}}return true;}public static void main(String[] args){Scanner sc = new Scanner(System.in);while(sc.hasNext()){Main main = new Main();int n = sc.nextInt();List<Integer> os = new ArrayList<>();List<Integer> js = new ArrayList<>();// 1、分组// 素数除了2以外都是奇数，两个数的和为奇数，则必然一个数为偶数，一个数为奇数，因此将用户输入的数字，按奇偶性分为两组for(int i=0;i<n;i++){int tmp = sc.nextInt();if(tmp % 2 == 0){os.add(tmp);}else{js.add(tmp);}}int M = js.size();int N = os.size();// 2、构造二分图（确认素数伴侣）int[][] map = new int[M][N];for(int i=0;i<js.size();i++){for(int j=0;j<N;j++){// 判断数js[i]和os[j]和是否为素数,如果是，则grap[i][j] = trueif(main.isPrime(js.get(i)+os.get(j))){map[i][j] = 1;}}}int[] linked = new int[N];for(int k=0;k<N;k++){linked[k] = -1;}int cnt = 0;for (int i = 0; i < M; i++){boolean[] used = new boolean[N];if (main.dfs(map,used,linked,i)){cnt++;}}System.out.println(cnt);}}
}

参考博文：https://zhuanlan.zhihu.com/p/96229700