一、EWMA控制图的定义及设计

假设一列$X_i,i=1,2,\cdots$来自一生产过程。为监控此生产过程是否受控，要做如下的假设检验：

$$H_0:X_i\sim N({\mu }_0,{\sigma }_0^2),i\ge 1⟷H_1:X_i\sim \{\begin{array}{l}N({\mu }_0,{\sigma }_0^2),1\le i\le \tau ,\\ N({\mu }_1,{\sigma }_1^2),i>\tau ,\end{array}$$

其中${\mu }_0\ne {\mu }_1$或(且)${\sigma }_0\ne {\sigma }_1$，$\tau$为未知的正整数。

当过程失控时，${\mu }_1={\mu }_0+\delta {\sigma }_0,{\sigma }_1=\gamma {\sigma }_0$。

不失一般性，假设当过程受控时，${\mu }_0=0,{\sigma }_0=1$。

EWMA统计量: $S_0=0,S_n=(1-\lambda )S_{n-1}+\lambda X_n$,

其中$\lambda \in (0,1)$为光滑参数(smoothing parameter).

如果$X$是独立的，且有共同的标准差${\sigma }_X$，则$S_n$的标准差${\sigma }_{S_n}$为
[\sigma_x\sqrt{\frac{\lambda[1-(1-\lambda)^{2n}]}{2-\lambda}}]

• 当$S_n\ge h$时报警，过程均值有向上的漂移；
• 当$S_n\le -h$时报警，过程均值有向下的漂移.

其中$h$为控制线.

二、带有参数估计的EWMA控制图

带有参数估计的控制图的主要表现是影响$AR{L}_0$和$AR{L}_1$。

假定检测均值漂移的初始值$S_0=\mu$为过程均值，则EWMA控制图为
[S_t=(1-r)S_{t-1}+r\cdot Y_t,\quad t=1,2,3,\cdots,]
其中，
[Y_t=\frac{\bar{X}_t-\mu_0}{\sigma_0/\sqrt{n}},]
${\bar{X}}_t$为时刻$t$的$n(\ge 1)$个观测值的均值。当受控过程的均值${\mu }_0$和标准差${\sigma }_0$未知时，用
[Y_t=\frac{\bar{X}_t-\hat{\mu}_0}{\hat{\sigma}_0/\sqrt{n}}]
来构造EWMA控制图。

假定有$m$组容量为$n$的受控观测值，估计为
[\mu_0=\frac{1}{mn}\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}nX_{ij},]
[\hat{\sigma}0=\frac{S_p}{C{4,m}},]
其中
[S_p=\sqrt{\frac{\sum\limits_{i=1}^{m\sum\limits_{j=1}}n(X_{ij}-\bar{X}i)^2}{m(n-1)}},]
[c{4,m}=\frac{\sqrt{2}\Gamma(\frac{m(n-1)+1}{2})}{\sqrt{m(n-1)}\Gamma(\frac{m(n-1)}{2})}]
控制线$h$的形式为
[h=\pm L\sqrt{\frac{r}{2-r}}]

令
[受控标准差的估计和受控标准差的比值\quad W=\frac{\hat{\sigma}_0}{\sigma_0}]
[估计受控均值和真正受控均值的标准化距离\quad Z_0=\sqrt m\frac{\hat{\mu}_0-\mu_0}{\sigma_0/\sqrt{n}}]
[t时刻的标准化均值\quad Z_t=\frac{\bar{X}_t-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}]
[t时刻标准差和受控标准差的比值\quad\gamma=\frac{\sigma}{\sigma_0}]
[标准化的均值漂移\quad \delta=\frac{\mu-\mu_0}{\sigma_0/\sqrt{n}}]
则可以把$Y_t$改写为
[Y_t=\frac{1}{W}(\gamma Z_t+\delta-\frac{Z_0}{\sqrt{m}})]

$ARL:E(T|\mu ,\gamma ,\delta )$控制图从检测开始到它发出生产出现问题的警报为止抽取的平均样本组数。根据这个定义，容易看出，当过程受控时，我们希望$ARL$尽可能大，这样控制图的误报率就会尽可能小；当过程失控时，我们希望$ARL$尽可能小，这样控制图的检测效率就会提高。

带有参数估计的EWMA控制图的设计步骤:

• 确定$AR{L}_0$.
• 确定样本容量$n$和受控样本组数$m$.
• 得到样本均值$\mu$和标准差$\sigma$的估计$\hat{\mu }$和$\hat{\sigma }$.
• 确定光滑参数$r$.
• 确定控制线所需参数$L$, 使得$EWMA$控制图达到事先确定的$AR{L}_0$.

四、自适应EWMA控制图

为了提高$EWMA$控制图对过程初始阶段的漂移的敏感性，考虑用指数递减的方法调整控制线，即带有$FIR$的$EWMA$的控制线。

假设有样本容量为$n\ge 1$的观测，并记$\overline{X_t}$为$t$时刻的观测均值.

• EWMA统计量 $S_t=(1-\lambda )S_{t-1}+\lambda \overline{X_t},0<\lambda \le 1$
• 控制线
  [\mu_x\pm L\sigma_x(1-(1-f)^{{1+a(t-1)})\sqrt{\frac{\lambda(1-(1-\lambda)}{2t})}{(2-\lambda)n}}]

其中$a=\frac{-\frac{2}{\ln (f)}-1}{19}$，${\mu }_x$和${\sigma }_x$是由阶段I数据对过程均值和标准差的估计.

$FIR$快速最初反应