用Green函数推导ARMA(1,1)方差/协方差函数
设ARMA(1,1)模型为Xt+ϕ1Xt−1=εt−θ1εt−1X_t+\phi_1X_{t-1}=\varepsilon_t-\theta_1\varepsilon_{t-1}Xt+ϕ1Xt−1=εt−θ1εt−1
根据Green函数的递推公式,有:G0=1G1=ϕ1G0−θ1G2=ϕ1G1…Gj=ϕ1Gj−1G_0=1 \\ G_1=\phi_1G_0-\theta_1\\ G_2=\phi_1G_1\\ \dots\\ G_j=\phi_1G_{j-1}G0=1G1=ϕ1G0−θ1G2=ϕ1G1…Gj=ϕ1Gj−1
归纳总结,则有:G0=1Gj=ϕ1j−1(ϕ1−θ1),j≥1G_0=1\\ G_j=\phi_1^{j-1}(\phi_1-\theta_1) ,j\ge1G0=1Gj=ϕ1j−1(ϕ1−θ1),j≥1
已知ARMA模型的传递形式的通解是:Xt=∑j=0∞Gjεt−jX_t=\displaystyle\sum_{j=0}^\infty G_j\varepsilon_{t-j}Xt=j=0∑∞Gjεt−j
那么,ARMA(1,1)的传递形式则是:Xt=εt+∑j=1∞ϕ1j−1(ϕ1−θ1)εt−jX_t=\varepsilon_t+\displaystyle\sum_{j=1}^\infty\phi_1^{j-1}(\phi_1-\theta_1)\varepsilon_{t-j}Xt=εt+j=1∑∞ϕ1j−1(ϕ1−θ1)εt−j
对XtX_tXt求方差:γ0=Var(Xt)=Var(εt+∑j=1∞ϕ1j−1(ϕ1−θ1)εt−j)=σε2+(ϕ1−θ1)2∑j=1∞ϕ12(j−1)Var(εt−j)⇒等比数列求和[1+(ϕ1−θ1)21−ϕ12]σε2\gamma_0=Var(X_t)=Var(\varepsilon_t+\displaystyle\sum_{j=1}^\infty\phi_1^{j-1}(\phi_1-\theta_1)\varepsilon_{t-j})\\ =\sigma_\varepsilon^2+(\phi_1-\theta_1)^2\displaystyle\sum_{j=1}^\infty\phi_1^{2(j-1)}Var(\varepsilon_{t-j}) \\ \xRightarrow{等比数列求和}[1+\frac{(\phi_1-\theta_1)^2} {1-\phi_1^2}]\sigma_\varepsilon^2γ0=Var(Xt)=Var(εt+j=1∑∞ϕ1j−1(ϕ1−θ1)εt−j)=σε2+(ϕ1−θ1)2j=1∑∞ϕ12(j−1)Var(εt−j)等比数列求和[1+1−ϕ12(ϕ1−θ1)2]σε2
进一步对ARMA(1,1)求自协方差函数γk,k≠0\gamma_k,k\not=0γk,k=0:
γk=cov(Xt,Xt−k)=cov(εt+∑j=1∞ϕ1j−1(ϕ1−θ1)εt−j,εt−k+∑i=1∞ϕ1i−1(ϕ1−θ1)εt−k−i)=cov(∑j=1∞ϕ1j−1(ϕ1−θ1)εt−j,εt−k)∣k=j+cov(∑j=1∞ϕ1j−1(ϕ1−θ1)εt−j,∑i=1∞ϕ1i−1(ϕ1−θ1)εt−k−i)∣j=k+i=(ϕ1−θ1)ϕ1k−1σε2+(ϕ1−θ1)2σε2∑i=1∞ϕ12(i−1)ϕ1k⇒等比数列求和γk=ϕ1k−1(ϕ1−θ1)(1−ϕ1θ1)1−ϕ12\gamma_k=cov(X_t,X_{t-k})\\ =cov(\varepsilon_t+\displaystyle\sum_{j=1}^\infty\phi_1^{j-1}(\phi_1-\theta_1)\varepsilon_{t-j}, \varepsilon_{t-k}+\displaystyle\sum_{i=1}^\infty\phi_1^{i-1}(\phi_1-\theta_1)\varepsilon_{t-k-i}) \\ =cov(\displaystyle\sum_{j=1}^\infty\phi_1^{j-1}(\phi_1-\theta_1)\varepsilon_{t-j},\varepsilon_{t-k})|_{k=j}+cov(\displaystyle\sum_{j=1}^\infty\phi_1^{j-1}(\phi_1-\theta_1)\varepsilon_{t-j},\displaystyle\sum_{i=1}^\infty\phi_1^{i-1}(\phi_1-\theta_1)\varepsilon_{t-k-i})|_{j=k+i} \\ =(\phi_1-\theta_1)\phi_1^{k-1}\sigma_\varepsilon^2+(\phi_1-\theta_1)^2\sigma_\varepsilon^2\displaystyle\sum_{i=1}^\infty\phi_1^{2(i-1)}\phi_1^k \\ \xRightarrow{等比数列求和}\gamma_k=\phi_1^{k-1} \frac {(\phi_1-\theta_1)(1-\phi_1\theta_1)}{1-\phi_1^2}γk=cov(Xt,Xt−k)=cov(εt+j=1∑∞ϕ1j−1(ϕ1−θ1)εt−j,εt−k+i=1∑∞ϕ1i−1(ϕ1−θ1)εt−k−i)=cov(j=1∑∞ϕ1j−1(ϕ1−θ1)εt−j,εt−k)∣k=j+cov(j=1∑∞ϕ1j−1(ϕ1−θ1)εt−j,i=1∑∞ϕ1i−1(ϕ1−θ1)εt−k−i)∣j=k+i=(ϕ1−θ1)ϕ1k−1σε2+(ϕ1−θ1)2σε2i=1∑∞ϕ12(i−1)ϕ1k等比数列求和γk=ϕ1k−11−ϕ12(ϕ1−θ1)(1−ϕ1θ1)
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2022/11/19 21:17:09 - 计算机配置更新不起,电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?
原标题:电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?win7系统中在开机与关闭的时候总是显示“配置windows update请勿关闭计算机”相信有不少朋友都曾遇到过一次两次还能忍但经常遇到就叫人感到心烦了遇到这种问题怎么办呢?一般的方…...
2022/11/19 21:17:08 - 计算机正在配置无法关机,关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机...
关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!关机提示 windows7 正在配…...
2022/11/19 21:17:05 - 钉钉提示请勿通过开发者调试模式_钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用...
钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用 更新时间:2020-04-20 22:24:19 浏览次数:729次 区域: 南阳 > 卧龙 列举网提醒您:为保障您的权益,请不要提前支付任何费用! 虚拟位置外设器!!轨迹模拟&虚拟位置外设神器 专业用于:钉钉,外勤365,红圈通,企业微信和…...
2022/11/19 21:17:05 - 配置失败还原请勿关闭计算机怎么办,win7系统出现“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”,长时间没反应,无法进入系统的解决方案...
前几天班里有位学生电脑(windows 7系统)出问题了,具体表现是开机时一直停留在“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”这个界面,长时间没反应,无法进入系统。这个问题原来帮其他同学也解决过,网上搜了不少资料&#x…...
2022/11/19 21:17:04 - 一个电脑无法关闭计算机你应该怎么办,电脑显示“清理请勿关闭计算机”怎么办?...
本文为你提供了3个有效解决电脑显示“清理请勿关闭计算机”问题的方法,并在最后教给你1种保护系统安全的好方法,一起来看看!电脑出现“清理请勿关闭计算机”在Windows 7(SP1)和Windows Server 2008 R2 SP1中,添加了1个新功能在“磁…...
2022/11/19 21:17:03 - 请勿关闭计算机还原更改要多久,电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机怎么办...
许多用户在长期不使用电脑的时候,开启电脑发现电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机。。.这要怎么办呢?下面小编就带着大家一起看看吧!如果能够正常进入系统,建议您暂时移…...
2022/11/19 21:17:02 - 还原更改请勿关闭计算机 要多久,配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以...
配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机&#x…...
2022/11/19 21:17:01 - 电脑配置中请勿关闭计算机怎么办,准备配置windows请勿关闭计算机一直显示怎么办【图解】...
不知道大家有没有遇到过这样的一个问题,就是我们的win7系统在关机的时候,总是喜欢显示“准备配置windows,请勿关机”这样的一个页面,没有什么大碍,但是如果一直等着的话就要两个小时甚至更久都关不了机,非常…...
2022/11/19 21:17:00 - 正在准备配置请勿关闭计算机,正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了解决教程...
当电脑出现正在准备配置windows请勿关闭计算机时,一般是您正对windows进行升级,但是这个要是长时间没有反应,我们不能再傻等下去了。可能是电脑出了别的问题了,来看看教程的说法。正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了方法一…...
2022/11/19 21:16:59 - 配置失败还原请勿关闭计算机,配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机...
我们使用电脑的过程中有时会遇到这种情况,当我们打开电脑之后,发现一直停留在一个界面:“配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机”,等了许久还是无法进入系统。如果我们遇到此类问题应该如何解决呢࿰…...
2022/11/19 21:16:58 - 如何在iPhone上关闭“请勿打扰”
Apple’s “Do Not Disturb While Driving” is a potentially lifesaving iPhone feature, but it doesn’t always turn on automatically at the appropriate time. For example, you might be a passenger in a moving car, but your iPhone may think you’re the one dri…...
2022/11/19 21:16:57