dq轴坐标系下的电路方程

dq轴坐标系是一种常见的电路方程，但是再dq轴坐标系下电路元件的电压电流dq轴存在一定的耦合，本文针对三相电路推导了dq轴坐标系下的电路电路方程进行一个推导，首先先列出来派克变换的公式

派克变换
$\left[\begin{array}{c}{A}_d\\ A_q\\ A_0\end{array}\right]=\frac{2}{3}\left[\begin{array}{ccc}\cos (\theta )& \cos (\theta -2\pi /3)& \cos (\theta +2\pi /3)\\ -\sin (\theta )& -\sin (\theta -2\pi /3)& -\sin (\theta +2\pi /3)\\ 1/2& 1/2& 1/2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{A}_a\\ A_b\\ A_c\end{array}\right]$
即$A_{dq0}=P{A}_{abc}$

派克反变换
$\left[\begin{array}{c}{A}_a\\ A_b\\ A_c\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\cos (\theta )& -\sin (\theta )& 1\\ \cos (\theta -2\pi /3)& -\sin (\theta -2\pi /3)& 1\\ \cos (\theta +2\pi /3)& -\sin (\theta +2\pi /3)& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{A}_a\\ A_b\\ A_c\end{array}\right]$
即$A_{abc}=P^{-1}{A}_{dq0}$

电阻电路

电阻电路作为最简单的的dq变换表达式，其电压电流的dq轴之间是没有耦合的，先放一张三相电阻电路的图
$\{\begin{array}{c}{u}_a=v_a+R\times i_a\\ u_b=v_b+R\times i_b\\ u_c=v_c+R\times i_c\end{array}$

两侧同时进行派克变换，可以得到
$\{\begin{array}{c}{u}_d=v_d+R\times i_d\\ u_q=v_q+R\times i_q\\ u_0=v_0+R\times i_0\end{array}$

电阻电路太过于简单，这里就不进行详细的推导了

电感电路

电感电路这时候就复杂了很多，标号和电阻电路相同，只是把元件变成了电感，我们来推导一下

$\{\begin{array}{c}{u}_a=v_a+L\frac{d{i}_a}{dt}\\ u_b=v_b+L\frac{d{i}_b}{dt}\\ u_c=v_c+L\frac{d{i}_c}{dt}\end{array}$

对方程的左右两侧电压同时进行派克变换，对电流进行派克反变换
$P\left[\begin{array}{c}{u}_a\\ u_b\\ u_c\end{array}\right]=P\left[\begin{array}{c}{v}_a\\ v_b\\ v_c\end{array}\right]+PL\frac{d}{dt}\left[\begin{array}{c}{i}_a\\ i_b\\ i_c\end{array}\right]$

将坐标变成dq轴的
$\left[\begin{array}{c}{u}_d\\ u_q\\ u_0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{v}_d\\ v_q\\ v_0\end{array}\right]+PL\frac{d}{dt}(P^{-1}\left[\begin{array}{c}{i}_d\\ i_q\\ i_0\end{array}\right])=\left[\begin{array}{c}{v}_d\\ v_q\\ v_0\end{array}\right]+PL{P}^{-1}\frac{d}{dt}\left[\begin{array}{c}{i}_a\\ i_b\\ i_c\end{array}\right]+PL\frac{d}{dt}(P^{-1})\left[\begin{array}{c}{i}_d\\ i_q\\ i_0\end{array}\right]$

我们把$P^{-1}$的微分单独拿出来看一下，由于$\theta =\omega t$所以
$\frac{d}{dt}(P^{-1})=\left[\begin{array}{ccc}-\omega \sin (\theta )& -\omega \cos (\theta )& 0\\ -\omega \sin (\theta -2\pi /3)& -\omega \cos (\theta -2\pi /3)& 0\\ -\omega \sin (\theta +2\pi /3)& -\omega \cos (\theta +2\pi /3)& 0\end{array}\right]$

我们来算一下之前公式的各个系数
$PL{P}^{-1}=L$
$PL\frac{d}{dt}(P^{-1})=\frac{2}{3}\left[\begin{array}{ccc}\cos (\theta )& \cos (\theta -2\pi /3)& \cos (\theta +2\pi /3)\\ -\sin (\theta )& -\sin (\theta -2\pi /3)& -\sin (\theta +2\pi /3)\\ 1/2& 1/2& 1/2\end{array}\right]L\left[\begin{array}{ccc}-\omega \sin (\theta )& -\omega \cos (\theta )& 0\\ -\omega \sin (\theta -2\pi /3)& -\omega \cos (\theta -2\pi /3)& 0\\ -\omega \sin (\theta +2\pi /3)& -\omega \cos (\theta +2\pi /3)& 0\end{array}\right]$
$=\left[\begin{array}{ccc}0& -\omega L& 0\\ \omega L& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$

最后我们把公式带进去看看
$\{\begin{array}{c}{u}_d=v_d+L\frac{d{i}_d}{dt}-\omega L{i}_q\\ u_q=v_q+L\frac{d{i}_q}{dt}+\omega L{i}_d\\ u_0=v_0+L\frac{d{i}_0}{dt}\end{array}$

电容电路

电容电路主要以接地为主，我想推导一个这样的拓扑结构

感觉公式推导起来感觉也差不多
$\{\begin{array}{c}{i}_a=L\frac{d{u}_a}{dt}\\ i_b=L\frac{d{u}_b}{dt}\\ i_c=L\frac{d{u}_c}{dt}\end{array}$

和上面的步骤一样

$P\left[\begin{array}{c}{i}_a\\ i_b\\ i_c\end{array}\right]=PC\frac{d}{dt}\left[\begin{array}{c}{u}_a\\ u_b\\ u_c\end{array}\right]$
转换成dq轴的
$\left[\begin{array}{c}{i}_d\\ i_q\\ i_0\end{array}\right]=PC\frac{d}{dt}(P^{-1}\left[\begin{array}{c}{u}_d\\ u_q\\ u_0\end{array}\right])=PC{P}^{-1}\frac{d}{dt}(\left[\begin{array}{c}{u}_d\\ u_q\\ u_0\end{array}\right])+PC\frac{d}{dt}(P^{-1})\left[\begin{array}{c}{u}_d\\ u_q\\ u_0\end{array}\right]$
就不详细推导了，给个结果把
$\{\begin{array}{c}{i}_d=C\frac{d{u}_d}{dt}-\omega C{u}_q\\ i_q=C\frac{d{u}_q}{dt}+\omega C{u}_d\\ i_0=C\frac{d{u}_0}{dt}\end{array}$