什么是递归
递归
什么是递归?首先递归是一种广泛的算法或者编程技巧,很多数据结构和算法的实现都依赖递归,比如DFS(深度优先遍历),二叉树的前中后序遍历等等。
示例:
举个简单的例子,比如排队,你排在第n个位置,具体n是多少,你不知道,所以你就问你前面一个人:“你是第几个人?”然而你前面的人也不知道他是第几个人,所以他就问他前面的人是第几个人,这样一直向前问,知道问到第一个人,然后第二个人知道自己是第二然后告诉第三个人,然后第三个人知道自己是第三,然后一直向后面这样反馈,到你这里,你也就知道自己是第几个人了,把这个过程抽象成一个算法就是递归!去的过程叫做“递”,回来的过程叫做“归”,而这个递归函数就可以抽象成f(n)=f(n-1)+1,其中,f(1)=1。
递归满足条件:
通过上面那个例子,我们可以理解递归到底是什么,那么怎么分析一个问题能否用递归来解决呢?
1.一个问题可以分解成几个子问题。
就比如上面的例子中,想知道第n个位置是多少,可以分解为n的前面一个(n-1)是多少这样一个子问题。
2.这个问题与分解后的子问题,除了数据规模不同,求解思路一样
就是说我知道了(n-1)位置是多少,我就知道了n的位置是多少。
3.存在递归终止条件
上面的问题中,我们不可能一直问前面一个人,总会到底一个人的时候,那么当到了第一个人的时候,即f(1)=1的时候,就是递归的终止条件。
练习:
我们在通过一个简单的例子来理解递归,比如n个台阶,一次只能上1步或者2步,问:有多少种走法?这是一道经典的递归算法题。
思路解析:首先我们第一步就有两种解法,一个是1步1个台阶,第二个是1步2个台阶,当我们走完第一步的时候,那么我们第二步有几种走法呢?还是两种,一步一个台阶和一步两个台阶,所以我们能推导出f(n)=f(n-1)+f(n-2);
为什么是f(n-1)和f(n-2)?你一步走了1个台阶还剩下(n-1)个,同理(n-2)!公式我们推导出来了,子问题也分析完了,那么终止条件呢?如果最后只剩下一个台阶我们可以一步走完,如果剩下两个台阶也可以一步走完,也可以分两步走完,如果剩下三个台阶就是f(3)= f(2)+f(1),所以我们定义终止条件是f(2)=2,f(1)=1。所以我们把公式和终止条件放到一起就是:
f(2)=2;
f(1)=1;
f(n)=f(n-1)+f(n-2);
通过这个公式,我们的最终代码就是:
int f(n){if(n == 1) return 1;if(n == 2) return 2;return f(n-1) + f(n-2);
}
注意:
我们平时思考问题的时候总是喜欢,按照线性思考,就是一条流水线似的,思考问题,但是面对递归问题,如果也这样思考,想把递归问题平铺展开,脑子就会一层一层循环的思考下一层怎么调用,这样的思维方式是错误的,很容易被绕进去,所以在思考递归问题的时候,我们只需要把递归抽象成一个递归公式,不用想一层层的调用关系,不用去分解递归的每个步骤。
递归产生问题:
递归代码可能导致堆栈溢出,因为函数调用会使用栈来保存临时变量,每调用一个函数,都会将临时变量封装为栈帧压入内存栈,等函数执行完成返回时,才出栈。系统栈或者虚拟机栈空间一般内存都不大。如果递归函数的求解的数据规模很大,调用层次很深,一直压入栈,就会有堆栈溢出的风险。
递归代码要注意重复计算,这个问题我们用刚才那个上台阶的例子解释,如图:
从图中我们可以看到计算f(5)需要计算f(4)和f(3),但是f(4)和f(3)已经被计算过了,所以会存在一个函数会存在多次重复计算,为了避免重复计算,我们可以通过一个数据结构(比如散列表)来保存已经进求过解的值,比如f(k)计算过后,存到散列表中,下次在遇到f(k)直接从散列表中取值就行,不需要再计算了,所以上面的代码可以优化为:
int f(n){if(n == 1) return 1;if(n == 2) return 2;//利用一个map数组存储key和value,key是n,value是f(n)的结果if( map.containsKey(n)){return map.get(n);}int res= f(n-1) + f(n-2);map.put(n,res);return res;
}
时间复杂度O(n),空间复杂度O(n);
递归代码改为非递归代码实现
递归代码好处:表达能力强,写起来简洁
递归代码弊端:空间、时间复杂度高,有堆栈溢出的风险,存在重复计算,过多的函数调用比较耗时。
我们先把前面示例中的f(n)=f(n-1) +1代码改写:
//递归写法
public int f1(int n){if(n == 1){return 1;}return f1(n-1)+1;
}
//非递归写法
public int f1(int n){int ret = 1;for(int i=2;i<=n;i++){ret= ret+1;}return ret;}
同样第二个练习题同样改写为:
public int f3(int n){if (n == 1) return 1;if (n == 2) return 2;int ret = 0;int pre = 1;int next = 2;for(int i=3;i<=n;i++){ret = pre + next;pre=next;next=ret;}return ret;}
这里读者直接看代码,可能会一脸懵逼,所以我给解释一下:
ret用来保存最终的返回值。
pre用来定义每次计算的前一个值。
next表示用来计算的后一个值。
我们来用上台阶的那张图充分解释一下这几个值的含义:比如当我们要计算f(3)的结果,那么从图中可以看,我们需要知道f(1)和f(2)的值,f(1)和f(2)的值我们都已经知道了,是1和2,那么f(3)就是3,好了我们现在知道了f(3)的值了,那么我们现在计算f(4)的值怎么算呢?从图中我们可以看出就需要知道f(2)和f(3)的值,f(3)我们已经知道了,那么是不是f(4)也就知道了,然后我们在计算f(5)的值,是不是需要知道f(3)和f(4)的值,f(3)和f(4)我们也都知道了,那么f(5)的值我们也知道了,同理f(6)、f(7)....f(n)都知道了,那么映射到代码怎么实现呢?
代码实现:通过定义终态值pre=1和next=2代表f(1)和f(2)的值,然后我们从i遍历到n,第一次遍历我们能得到f(3)的值,就是ret=pre+next,此时的ret就是f(3),那么接下来我们要求解f(4),需要f(2)就是next和f(3)就是ret,所以我们按照上台阶的图中的顺序,将pre = next,将next= ret,然后开始求解i=4,即f(4)的值,f(4)需要f(2)和f(3),那么此时pre就代表f(2),next代表f(3),刚才的(将pre = next,将next= ret)也就是实现这个语句的意思。然后重复pre = next,将next= ret,继续i=5,直到i=n,就可以求解了。
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2022/11/19 21:17:10 - 电脑桌面一直是清理请关闭计算机,windows7一直卡在清理 请勿关闭计算机-win7清理请勿关机,win7配置更新35%不动...
只能是等着,别无他法。说是卡着如果你看硬盘灯应该在读写。如果从 Win 10 无法正常回滚,只能是考虑备份数据后重装系统了。解决来方案一:管理员运行cmd:net stop WuAuServcd %windir%ren SoftwareDistribution SDoldnet start WuA…...
2022/11/19 21:17:09 - 计算机配置更新不起,电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?
原标题:电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?win7系统中在开机与关闭的时候总是显示“配置windows update请勿关闭计算机”相信有不少朋友都曾遇到过一次两次还能忍但经常遇到就叫人感到心烦了遇到这种问题怎么办呢?一般的方…...
2022/11/19 21:17:08 - 计算机正在配置无法关机,关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机...
关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!关机提示 windows7 正在配…...
2022/11/19 21:17:05 - 钉钉提示请勿通过开发者调试模式_钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用...
钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用 更新时间:2020-04-20 22:24:19 浏览次数:729次 区域: 南阳 > 卧龙 列举网提醒您:为保障您的权益,请不要提前支付任何费用! 虚拟位置外设器!!轨迹模拟&虚拟位置外设神器 专业用于:钉钉,外勤365,红圈通,企业微信和…...
2022/11/19 21:17:05 - 配置失败还原请勿关闭计算机怎么办,win7系统出现“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”,长时间没反应,无法进入系统的解决方案...
前几天班里有位学生电脑(windows 7系统)出问题了,具体表现是开机时一直停留在“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”这个界面,长时间没反应,无法进入系统。这个问题原来帮其他同学也解决过,网上搜了不少资料&#x…...
2022/11/19 21:17:04 - 一个电脑无法关闭计算机你应该怎么办,电脑显示“清理请勿关闭计算机”怎么办?...
本文为你提供了3个有效解决电脑显示“清理请勿关闭计算机”问题的方法,并在最后教给你1种保护系统安全的好方法,一起来看看!电脑出现“清理请勿关闭计算机”在Windows 7(SP1)和Windows Server 2008 R2 SP1中,添加了1个新功能在“磁…...
2022/11/19 21:17:03 - 请勿关闭计算机还原更改要多久,电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机怎么办...
许多用户在长期不使用电脑的时候,开启电脑发现电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机。。.这要怎么办呢?下面小编就带着大家一起看看吧!如果能够正常进入系统,建议您暂时移…...
2022/11/19 21:17:02 - 还原更改请勿关闭计算机 要多久,配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以...
配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机&#x…...
2022/11/19 21:17:01 - 电脑配置中请勿关闭计算机怎么办,准备配置windows请勿关闭计算机一直显示怎么办【图解】...
不知道大家有没有遇到过这样的一个问题,就是我们的win7系统在关机的时候,总是喜欢显示“准备配置windows,请勿关机”这样的一个页面,没有什么大碍,但是如果一直等着的话就要两个小时甚至更久都关不了机,非常…...
2022/11/19 21:17:00 - 正在准备配置请勿关闭计算机,正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了解决教程...
当电脑出现正在准备配置windows请勿关闭计算机时,一般是您正对windows进行升级,但是这个要是长时间没有反应,我们不能再傻等下去了。可能是电脑出了别的问题了,来看看教程的说法。正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了方法一…...
2022/11/19 21:16:59 - 配置失败还原请勿关闭计算机,配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机...
我们使用电脑的过程中有时会遇到这种情况,当我们打开电脑之后,发现一直停留在一个界面:“配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机”,等了许久还是无法进入系统。如果我们遇到此类问题应该如何解决呢࿰…...
2022/11/19 21:16:58 - 如何在iPhone上关闭“请勿打扰”
Apple’s “Do Not Disturb While Driving” is a potentially lifesaving iPhone feature, but it doesn’t always turn on automatically at the appropriate time. For example, you might be a passenger in a moving car, but your iPhone may think you’re the one dri…...
2022/11/19 21:16:57