二分快速幂(递归版、位运算版)
文章目录
- 引言
- 二分快速幂
- 递归思路
- 二进制循环思路
- 写在后面
- 课后习题
- 50. Pow(x, n)
- 递归
- 二进制
- 372. 超级次方
- 1808. 好因子的最大数目
引言
我们为什么会需要用到快速幂这种算法?试想这样一个场景:题目要求计算254545565254545565254545565的266231331226623133122662313312次幂。如果你还想用循环的方式从定义出发一个一个算,哎呦,你光这一步就得进行266231331226623133122662313312次运算,你不觉得太难受了吗?
二分快速幂
让我们试着用分治的思想去看待这个问题。如果指数是偶数,那么他除以2就是整数;如果指数是奇数,那么他减一除以2就是整数(这里废话)。那么就可以用如下思路进行转化
(图源英雄哪里出来)
递归思路
递归其实更直接一点,你只需要时时记得你写的函数意义是什么就好。设f(x)=abmodcf(x)=a^b\space mod\space cf(x)=ab mod c 那么 a(b−1)/2modca^{(b-1)/2}\space mod\space ca(b−1)/2 mod c所以递归的代码我们就可以直接写出来
int qpow(int a, int b, int c)
{if (b == 0) return 1 % c;if (b % 2) return a * pow(qpow(a, (b - 1) / 2, c), 2) % c;else return pow(qpow(a, b / 2, c), 2) % c;
}
代码做一点小优化
int qpow(int a, int b, int c)
{if (b == 0) return 1 % c;int t = qpow(a, b / 2, c);if (b % 2 != 0) return a * t * t % c;return t * t % c;
}
(暂且不考虑比如t∗tt*tt∗t带来的溢出的问题)
二进制循环思路
让我们从二进制的角度来看问题。指数b的二进制表示为101010111…根据二进制数转换十进制数的方法,他就一定能表示为
(t1,t2,t3就是二进制表示中为1的数位)循环看每一位是不是1,是1就乘上底数a。a做出相应变化,即每循环一位就乘2。
这样int范围内最多也只会计算32次
LL qpow(LL a,LL b,LL c)
{if(b==0) return 1;long long res=1;while(b){if(b&1) res=res*a%c;a=a*a%c;b>>=1;}return res;
}
写在后面
我们再来好好看看两种看似不同的思路为什么其实是一种算法。首先是:i>>=1i>>=1i>>=1就是二进制右移一位,等价于i/=2i/=2i/=2,b&1b\&1b&1 等价于b%2b\%2b%2,因为b&1b\&1b&1是在判断二进制表示的最后一位数字是几,而你会发现偶数的二进制表示的最后一位都是0,奇数都是1。这样看来,两种方式是不是就一样了?
课后习题
50. Pow(x, n)
题目链接
模板题,直接套上面的板子就好。注意处理b为负数的情况(如果太大取反可能会有溢出的情况,建议直接把b的类型定义为long)
递归
class Solution {double qpow(double a, long b){if (b == 0) return 1 ;if(b<0) b=-b;double t = qpow(a, b / 2);if (b % 2 != 0) return a * t * t;return t * t;}
public:double myPow(double x, int n) {if(n<0) return 1/qpow(x,n);return qpow(x,n);}
};
二进制
class Solution {double qpow(double a,long b){if(b==0) return 1;if(b<0) b=-b;double res=1;while(b){if(b&1) res=res*a;a=a*a;b>>=1;}return res;}
public:double myPow(double x, int n) {if(n<0) return 1/qpow(x,n);return qpow(x,n);}
};
372. 超级次方
b以数组的形式给出,九十八一个整数的十进制位分开了。哎咱们上面说的是二进制写快速幂呀,那十进制能不能按一样的思路来写?当然可以啦!1231457=1231000∗123400∗12350∗1237=(1231)1000∗(1234)100∗(1235)10∗1237123^{1457}=123^{1000}*123^{400}*123^{50}*123^7=(123^1)^{1000}*(123^4)^{100}*(123^5)^{10}*123^71231457=1231000∗123400∗12350∗1237=(1231)1000∗(1234)100∗(1235)10∗1237,所以用一个数字来保存答案,循环每一位,让答案的十次方乘上下一位的次方数就好啦
class Solution {long qpow(long a,long b,long c){if(b==0) return 1;long res=1;while(b){if(b&1) res=res*a%c;a=a*a%c;b>>=1;}return res;}
public:int superPow(int a, vector<int>& b) {int res=1;for(int i=0;i<b.size();i++) res=qpow(res,10,1337)*qpow(a,b[i],1337);return res%1337;}
};
1808. 好因子的最大数目
数学太菜了,看到别人的代码中出现3是直接就懵了。。。还好有大佬一步一步写出来才解答了我这个菜鸡的疑惑。XingleiGao大佬的博客
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关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!关机提示 windows7 正在配…...
2022/11/19 21:17:05 - 钉钉提示请勿通过开发者调试模式_钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用...
钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用 更新时间:2020-04-20 22:24:19 浏览次数:729次 区域: 南阳 > 卧龙 列举网提醒您:为保障您的权益,请不要提前支付任何费用! 虚拟位置外设器!!轨迹模拟&虚拟位置外设神器 专业用于:钉钉,外勤365,红圈通,企业微信和…...
2022/11/19 21:17:05 - 配置失败还原请勿关闭计算机怎么办,win7系统出现“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”,长时间没反应,无法进入系统的解决方案...
前几天班里有位学生电脑(windows 7系统)出问题了,具体表现是开机时一直停留在“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”这个界面,长时间没反应,无法进入系统。这个问题原来帮其他同学也解决过,网上搜了不少资料&#x…...
2022/11/19 21:17:04 - 一个电脑无法关闭计算机你应该怎么办,电脑显示“清理请勿关闭计算机”怎么办?...
本文为你提供了3个有效解决电脑显示“清理请勿关闭计算机”问题的方法,并在最后教给你1种保护系统安全的好方法,一起来看看!电脑出现“清理请勿关闭计算机”在Windows 7(SP1)和Windows Server 2008 R2 SP1中,添加了1个新功能在“磁…...
2022/11/19 21:17:03 - 请勿关闭计算机还原更改要多久,电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机怎么办...
许多用户在长期不使用电脑的时候,开启电脑发现电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机。。.这要怎么办呢?下面小编就带着大家一起看看吧!如果能够正常进入系统,建议您暂时移…...
2022/11/19 21:17:02 - 还原更改请勿关闭计算机 要多久,配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以...
配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机&#x…...
2022/11/19 21:17:01 - 电脑配置中请勿关闭计算机怎么办,准备配置windows请勿关闭计算机一直显示怎么办【图解】...
不知道大家有没有遇到过这样的一个问题,就是我们的win7系统在关机的时候,总是喜欢显示“准备配置windows,请勿关机”这样的一个页面,没有什么大碍,但是如果一直等着的话就要两个小时甚至更久都关不了机,非常…...
2022/11/19 21:17:00 - 正在准备配置请勿关闭计算机,正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了解决教程...
当电脑出现正在准备配置windows请勿关闭计算机时,一般是您正对windows进行升级,但是这个要是长时间没有反应,我们不能再傻等下去了。可能是电脑出了别的问题了,来看看教程的说法。正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了方法一…...
2022/11/19 21:16:59 - 配置失败还原请勿关闭计算机,配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机...
我们使用电脑的过程中有时会遇到这种情况,当我们打开电脑之后,发现一直停留在一个界面:“配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机”,等了许久还是无法进入系统。如果我们遇到此类问题应该如何解决呢࿰…...
2022/11/19 21:16:58 - 如何在iPhone上关闭“请勿打扰”
Apple’s “Do Not Disturb While Driving” is a potentially lifesaving iPhone feature, but it doesn’t always turn on automatically at the appropriate time. For example, you might be a passenger in a moving car, but your iPhone may think you’re the one dri…...
2022/11/19 21:16:57