事件的独立性

在学习了条件概率之后，那就不得不提到事件独立性了。

我们先来看一个例子

例子1

$$\begin{gathered} 记A_1:第一颗骰子掷出6点。 \\ 记A_2：第二颗骰子掷出2点。 \end{gathered}$$

这个事件一看就非常的独立是吧，我下一次投的骰子跟上一次怎么会有关系呢？因此在这2个事件独立的情况下，我们可以这样写$P(A_2|A_1)=P(A_2)$

我们再拿出我们熟悉的条件概率公式$P(A_2|A_1)=\frac{P(A_2{A}_1)}{P(A_1)}$

是不是可以写成这样呢？

$$\begin{gathered} P(A_2|A_1)=P(A_2)=\frac{P(A_2{A}_1)}{P(A_1)} \\ P(A_2)P(A_1)=P(A_2{A}_1) \end{gathered}$$

由此得出了事件独立的定义

两个事件相互独立

当$A$，$B$是两个事件，如果具有等式：$P(AB)=P(A)P(B)$则称事件$A$，$B$相互独立。

说明：

1. 设$P(B)>0$则$A$与$B$相互独立$P(A|B)=P(A)$
2. 设$A$，$B$相互独立。则$A$与$\overline{B}$， $\overline{A}$与$B$，$\overline{A}$与$\overline{B}$相互独立

下面咱们还要讨论一个独立和相容之间的概念。

来继续看抽牌问题来讨论

现有一副不含大、小王的扑克牌，在洗牌后随机抽取一张。

1. “这张牌是黑桃”与“这张牌是K”是否相互独立?
2. “这张牌是黑桃”与“这张牌是红桃”是否相互独立?

（1）$$\begin{gathered} 记事件A:这张牌是黑桃B:这张牌是K。 \\ 由古典概型易知: \\ P(A)=\frac{1}{4}P(C)=\frac{1}{13}P(AB)=\frac{1}{52} \\ P(AB)=P(A)P(B),所以A与B相互独立。 \end{gathered}$$

（2）$$\begin{gathered} 记事件A:这张牌是黑桃C:这张牌是红桃. \\ 由古典概型易知: \\ P(A)=\frac{1}{4}P(C)=\frac{1}{4}P(AC)=0 \\ \therefore P(AC)\ne P(A)P(C)，所以A与B不相互独立. \end{gathered}$$

由此可得

$P(A)P(C)>0$时,若$A,C$不相容,则$A,C$非相互独立的。
$P(A)P(C)>0$时,若$A,C$相互独立,则$A,C$非不相容.

但是这2个结论非常的绕啊，我是看了好久没太明白的😥

不过现在我换个说法或许会好很多，首先相容的反义是互斥

那么不相容就是互斥，那么我们改成这样

$P(A)P(C)>0$时,若$A,C$互斥,则$A,C$不相互独立。
$P(A)P(C)>0$时,若$A,C$相互独立,则$A,C$非互斥.

这样是不是容易理解多了，最开始一堆否定词连着用属实看不懂😥😥😥

如果还是晕的话可能需要理解一下互斥和相互独立这2个概念描述的是什么了。

三个事件相互独立

定义设$A,B,C$是三个事件,如果具有等式:

1. $P(AB)=P(A)P(B)$
2. $P(BC)=P(B)P(C)$
3. $P(AC)=P(A)P(C)$
4. $P(ABC)=P(A)P(B)P(C)$

则称事件$A,B,C$祖互独立，如果只满足1,2,3的话则称事件$A,B,C$两两独立

若事件$A,B,C$相互独立，则事件$A,B,C$一定两两独立。

反之如果事件$A,B,C$两两独立，则事件$A,B,C$不一定相互独立。

由此我们可以得出多个事件相互独立的定义

多个事件相互独立

定义若n个事件$A_1,A_2,...A_n$满足如下等式：

$$\begin{gathered} P(A_i{A}_j)=P(A_i)P(A_j)1⩽i<j<n; \\ P(A_i{A}_j{A}_k)=P(A_i)P(A_j)P(A_k)1⩽j<k⩽n; \\ ............. \\ P(A_1{A}_2...A_n)=P(A_1)P(A_2)...P(A_n) \end{gathered}$$

则称n个事件$A_1,A_2,...A_n$相互独立

这样算是把所有的都介绍完了，那么就进入例题环节吧😋

例题1

假设每发炮弹是否命中是互不影响的,且命中概率均为0.004。若系统发射100发炮弹,求至少命中一发的概率。

一眼发现了互不影响的字样，直接多个事件相互独立搞上！！！

正向的思路当然是把至少命中一发的概率统统加上➕了是吧，但是这样会非常的繁琐和麻烦，也不好计算

而逆向的思维就非常简单了，只需要减掉100次都不命中的概率就好了。

计算起来的话非常简单，但是这个例题并不是为了让你计算，而是告诉你为什么可以这样算

$1设A,B相互独立.$
$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)$$

同时$A$和$B$的积事件可以看成全事件减去$\overline{A}$和$\overline{B}$的积事件，应该不难理解吧。然后根据事件独立性再展开一下

$$P(A\cup B)=1-P(\overline{AB})=1-P(\overline{A})P(\overline{B})$$
$$\begin{gathered} 2设A_1,A_2,...A_n相互独立. \\ P({\bigcup }_{i=1}^n{A}_i) \\ =1-P(\overline{A_1}\overline{A_2}\dots \overline{A_n}) \\ =1-P(\overline{A_1})\dots P(\overline{A_n}) \end{gathered}$$

如果$P(A_i)=pi=1,2,...,n$

则有$P({\bigcup }_{i=1}^n{A}_i)=1-(1-p{)}^n$

这样一顿推导后我想应该很清楚了，这样的公式只有在事件相互独立的情况成立。

🆗我们回到题目来

$$\begin{gathered} 记A:导弹被击中。 \\ {A}_i:第i发炮弹击中导弹，i=1,2,\dots ,100 \end{gathered}$$

有$A=A_1\cup A_2\cup \dots A_{100}$相互独立，且$p=P(A_i)=0.004,i=1,2,...,100$则

$P(A)=P(A_1\cup ...\cup A_{100})=1-(1-p{)}^{100}\approx 0.33$