二元逻辑回归损失函数的数学解释与公式推导
我们基于极大似然法来推导二元逻辑回归的损失函数,这个推导过程能够帮助我们了解损失函数怎么
得来的,以及为什么J(θ)J(\theta)J(θ)的最小化能够实现模型在训练集上的拟合最好。
我们的目标是:让模型对训练数据的效果好,追求损失最小
二元逻辑回归的标签服从伯努利分布(即0-1分布),因此我们可以将一个特征向量为 xxx,参数为θ\thetaθ的模型中的一个样本i的预测情况表现为如下形式:
-
样本i在由特征向量 xix_ixi和参数 θ\thetaθ组成的预测函数中,样本标签被预测为1的概率为:
P1=P(yi^=1∣xi,θ)=yθ(xi)P_1=P(\hat{y_i}=1|x_i,\theta)=y_{\theta}(x_i)P1=P(yi^=1∣xi,θ)=yθ(xi)
-
样本i在由特征向量 和参数 组成的预测函数中,样本标签被预测为0的概率为:
P0=P(yi^=0∣xi,θ)=1−yθ(xi)P_0=P(\hat{y_i}=0|x_i,\theta)=1-y_{\theta}(x_i)P0=P(yi^=0∣xi,θ)=1−yθ(xi)
当P1P_1P1的值为1的时候,代表样本i的标签被预测为1,当P0P_0P0的值为1的时候,代表样本i的标签被预测为0。
假设样本i的真实标签yiy_iyi为1,此时如果P1P_1P1为1,P0P_0P0为0的时候,就代表样本i的标签被预测为1,与真实值一致。此时对于单样本i来说,模型的预测就是完全准确的,拟合程度很优秀,没有任何信息损失。
相反,如果P1P_1P1为0,P0P_0P0为1的时候,就代表样本i的标签被预测为0,与真实情况完全相反。对于单样本i来说,模型的预测就是完全错误的,拟合程度很差,所有的信息都损失了。
当yiy_iyi为0时,也是同样的道理,所以,当 yiy_iyi为1的时候,我们希望 P1P_1P1非常接近1, 当 yiy_iyi为0的时候,我们希望 P0P_0P0非常接近1,这样,模型的效果就很好,信息损失就很少。
将两种取值的概率整合,我们可以定义如下等式:
P(yi^∣xi,θ)=P1yi∗P01−yiP(\hat{y_i}|x_i,\theta)=P_1^{y_i}*P_0^{1-y_i}P(yi^∣xi,θ)=P1yi∗P01−yi
这个等式代表同时代表了P0P_0P0和P1P_1P1,当样本i的真实标签 yiy_iyi为1的时候,1−yi1-y_i1−yi 就等于0,P0P_0P0 的0次方就是1,所以P(yi^∣xi,θ)P(\hat{y_i}|x_i,\theta)P(yi^∣xi,θ)等于P1P_1P1,这时,如果P1P_1P1为1,模型的效果就很好,损失就很小。同理,当 yiy_iyi为0的时候,P(yi^∣xi,θ)P(\hat{y_i}|x_i,\theta)P(yi^∣xi,θ)等于P0P_0P0,此时如果P0P_0P0非常接近1,模型的效果就很好,损失就很小。所以,为了达成让模型拟合好,损失小的目的,我们每时每刻都希望P(yi^∣xi,θ)P(\hat{y_i}|x_i,\theta)P(yi^∣xi,θ) 的值等于1。 而P(yi^∣xi,θ)P(\hat{y_i}|x_i,\theta)P(yi^∣xi,θ) 的本质是样本i由特征向量xix_ixi和参数θ\thetaθ组成的预测函数中,预测出所有可能的y^\hat{y}y^的概率,因此1是它的最大值。
也就是说,每时每刻,我们都在追求P(yi^∣xi,θ)P(\hat{y_i}|x_i,\theta)P(yi^∣xi,θ) 的最大值。这就将模型拟合中的“最小化损失”问题,转换成了对函数求解极值的问题。
P(yi^∣xi,θ)P(\hat{y_i}|x_i,\theta)P(yi^∣xi,θ)是对单个样本i而言的函数,对一个训练集的m个样本来说,我们可以定义如下等式来表达所有样本在特征矩阵X和参数 θ\thetaθ组成的预测函数中,预测出所有可能的 y^\hat{y}y^的概率P为:
P=∏i=1mP(yi^∣xi,θ)=∏i=1m(P1yi∗P01−yi)=∏i=1m(y0(xi)yi∗(1−y0(xi))1−yi)将开头的P1和P0带入\begin{aligned} P&=\prod_{i=1}^mP(\hat{y_i}|x_i,\theta) \\&=\prod_{i=1}^m(P_1^{y_i}*P_0^{1-y_i}) \\&=\prod_{i=1}^m(y_0(x_i)^{y_i}*(1-y_0(x_i))^{1-y_i}) ~~~~~~~~~~将开头的P_1和P_0带入 \end{aligned}P=i=1∏mP(yi^∣xi,θ)=i=1∏m(P1yi∗P01−yi)=i=1∏m(y0(xi)yi∗(1−y0(xi))1−yi) 将开头的P1和P0带入
对该概率P取对数,再由log(A∗B)=logA+logB\log(A*B)=\log A+\log Blog(A∗B)=logA+logB和logAB=BlogA\log A^B=B\log AlogAB=BlogA可得:
logP=log∏i=1m(y0(xi)yi∗(1−y0(xi))1−yi)=∑i=1mlog(y0(xi)yi∗(1−y0(xi))1−yi)=∑i=1m(logyθ(xi)yi+log(1−yθ(xi))1−yi)=∑i=1m(yilogyθ(xi)+(1−yi)log(1−yθ(xi)))\begin{aligned} \log P&=\log\prod_{i=1}^m(y_0(x_i)^{y_i}*(1-y_0(x_i))^{1-y_i}) \\&=\sum_{i=1}^m\log(y_0(x_i)^{y_i}*(1-y_0(x_i))^{1-y_i}) \\&=\sum_{i=1}^m(\log y_{\theta}(x_i)^{y_i}+\log(1-y_{\theta}(x_i))^{1-y_i}) \\&=\sum_{i=1}^m(y_i\log y_{\theta}(x_i)+(1-y_i)\log(1-y_{\theta}(x_i))) \end{aligned}logP=logi=1∏m(y0(xi)yi∗(1−y0(xi))1−yi)=i=1∑mlog(y0(xi)yi∗(1−y0(xi))1−yi)=i=1∑m(logyθ(xi)yi+log(1−yθ(xi))1−yi)=i=1∑m(yilogyθ(xi)+(1−yi)log(1−yθ(xi)))
这就是我们的交叉熵函数。为了数学上的便利以及更好地定义”损失”的含义,我们希望将极大值问题转换为极小值问题,因此我们对 logP\log{P}logP取负,并且让参数 θ\thetaθ作为函数的自变量,就得到了我们的损失函数 J(θ)J(\theta)J(θ):
J(θ)=−∑i=1m(yilogyθ(xi)+(1−yi)log(1−yθ(xi)))J(\theta)=-\sum_{i=1}^m(y_i\log y_{\theta}(x_i)+(1-y_i)\log(1-y_{\theta}(x_i)))J(θ)=−i=1∑m(yilogyθ(xi)+(1−yi)log(1−yθ(xi)))
这就是一个,基于逻辑回归的返回值 yθ(xi)y_{\theta}(x_i)yθ(xi)的概率性质得出的损失函数。在这个函数上,我们只要追求最小值,就能让模型在训练数据上的拟合效果最好,损失最低。这个推导过程,其实就是“极大似然法”的推导过程。
似然与概率
-
似然与概率是一组非常相似的概念,它们都代表着某件事发生的可能性,但它们在统计学和机器学习中有着微妙的不同。以样本i为例,表达式为:
P(yi^∣xi,θ)P(\hat{y_i}|x_i,\theta)P(yi^∣xi,θ)
对这个表达式而言,如果参数 θ\thetaθ是已知的,特征向量xix_ixi是未知的,我们便称P是在探索不同特征取值下获取所有可能的 y^\hat{y}y^的可能性,这种可能性就被称为概率,研究的是自变量和因变量之间的关系。如果特征向量xix_ixi 是已知的,参数θ\thetaθ 是未知的,我们便称P是在探索不同参数下获取所有可能的 y^\hat{y}y^ 的可能性,这种可能性就被称为似然,研究的是参数取值与因变量之间的关系。
在逻辑回归的建模过程中,我们的特征矩阵是已知的,参数是未知的,因此我们讨论的所有“概率”其实严格来说都应该是“似然”。我们追求P(yi^∣xi,θ)P(\hat{y_i}|x_i,\theta)P(yi^∣xi,θ) 的最大值(换算成损失函数之后取负了,所以是最小值),就是在追求“极大似然”,所以逻辑回归的损失函数的推导方法叫做”极大似然法“。也因此,以下式子又被称为”极大似然函数“:
P(yi^∣xi,θ)=y0(xi)yi∗(1−y0(xi))1−yiP(\hat{y_i}|x_i,\theta)=y_0(x_i)^{y_i}*(1-y_0(x_i))^{1-y_i}P(yi^∣xi,θ)=y0(xi)yi∗(1−y0(xi))1−yi
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原标题:械字号医用眼膜缓解用眼过度到底有无作用?医用眼膜/械字号眼膜/医用冷敷眼贴 凝胶层为亲水高分子材料,含70%以上的水分。体表皮肤温度传导到本产品的凝胶层,热量被凝胶内水分子吸收,通过水分的蒸发带走大量的热量,可迅速地降低体表皮肤局部温度,减轻局部皮肤的灼…...
2024/4/25 18:38:57 - 配置失败还原请勿关闭计算机,电脑开机屏幕上面显示,配置失败还原更改 请勿关闭计算机 开不了机 这个问题怎么办...
解析如下:1、长按电脑电源键直至关机,然后再按一次电源健重启电脑,按F8健进入安全模式2、安全模式下进入Windows系统桌面后,按住“winR”打开运行窗口,输入“services.msc”打开服务设置3、在服务界面,选中…...
2022/11/19 21:17:18 - 错误使用 reshape要执行 RESHAPE,请勿更改元素数目。
%读入6幅图像(每一幅图像的大小是564*564) f1 imread(WashingtonDC_Band1_564.tif); subplot(3,2,1),imshow(f1); f2 imread(WashingtonDC_Band2_564.tif); subplot(3,2,2),imshow(f2); f3 imread(WashingtonDC_Band3_564.tif); subplot(3,2,3),imsho…...
2022/11/19 21:17:16 - 配置 已完成 请勿关闭计算机,win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机...
win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机”问题的解决方法在win7系统关机时如果有升级系统的或者其他需要会直接进入一个 等待界面,在等待界面中我们需要等待操作结束才能关机,虽然这比较麻烦,但是对系统进行配置和升级…...
2022/11/19 21:17:15 - 台式电脑显示配置100%请勿关闭计算机,“准备配置windows 请勿关闭计算机”的解决方法...
有不少用户在重装Win7系统或更新系统后会遇到“准备配置windows,请勿关闭计算机”的提示,要过很久才能进入系统,有的用户甚至几个小时也无法进入,下面就教大家这个问题的解决方法。第一种方法:我们首先在左下角的“开始…...
2022/11/19 21:17:14 - win7 正在配置 请勿关闭计算机,怎么办Win7开机显示正在配置Windows Update请勿关机...
置信有很多用户都跟小编一样遇到过这样的问题,电脑时发现开机屏幕显现“正在配置Windows Update,请勿关机”(如下图所示),而且还需求等大约5分钟才干进入系统。这是怎样回事呢?一切都是正常操作的,为什么开时机呈现“正…...
2022/11/19 21:17:13 - 准备配置windows 请勿关闭计算机 蓝屏,Win7开机总是出现提示“配置Windows请勿关机”...
Win7系统开机启动时总是出现“配置Windows请勿关机”的提示,没过几秒后电脑自动重启,每次开机都这样无法进入系统,此时碰到这种现象的用户就可以使用以下5种方法解决问题。方法一:开机按下F8,在出现的Windows高级启动选…...
2022/11/19 21:17:12 - 准备windows请勿关闭计算机要多久,windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机怎么办...
有不少windows10系统用户反映说碰到这样一个情况,就是电脑提示正在准备windows请勿关闭计算机,碰到这样的问题该怎么解决呢,现在小编就给大家分享一下windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机的具体第一种方法:1、2、依次…...
2022/11/19 21:17:11 - 配置 已完成 请勿关闭计算机,win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机”的解决方法...
今天和大家分享一下win7系统重装了Win7旗舰版系统后,每次关机的时候桌面上都会显示一个“配置Windows Update的界面,提示请勿关闭计算机”,每次停留好几分钟才能正常关机,导致什么情况引起的呢?出现配置Windows Update…...
2022/11/19 21:17:10 - 电脑桌面一直是清理请关闭计算机,windows7一直卡在清理 请勿关闭计算机-win7清理请勿关机,win7配置更新35%不动...
只能是等着,别无他法。说是卡着如果你看硬盘灯应该在读写。如果从 Win 10 无法正常回滚,只能是考虑备份数据后重装系统了。解决来方案一:管理员运行cmd:net stop WuAuServcd %windir%ren SoftwareDistribution SDoldnet start WuA…...
2022/11/19 21:17:09 - 计算机配置更新不起,电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?
原标题:电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?win7系统中在开机与关闭的时候总是显示“配置windows update请勿关闭计算机”相信有不少朋友都曾遇到过一次两次还能忍但经常遇到就叫人感到心烦了遇到这种问题怎么办呢?一般的方…...
2022/11/19 21:17:08 - 计算机正在配置无法关机,关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机...
关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!关机提示 windows7 正在配…...
2022/11/19 21:17:05 - 钉钉提示请勿通过开发者调试模式_钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用...
钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用 更新时间:2020-04-20 22:24:19 浏览次数:729次 区域: 南阳 > 卧龙 列举网提醒您:为保障您的权益,请不要提前支付任何费用! 虚拟位置外设器!!轨迹模拟&虚拟位置外设神器 专业用于:钉钉,外勤365,红圈通,企业微信和…...
2022/11/19 21:17:05 - 配置失败还原请勿关闭计算机怎么办,win7系统出现“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”,长时间没反应,无法进入系统的解决方案...
前几天班里有位学生电脑(windows 7系统)出问题了,具体表现是开机时一直停留在“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”这个界面,长时间没反应,无法进入系统。这个问题原来帮其他同学也解决过,网上搜了不少资料&#x…...
2022/11/19 21:17:04 - 一个电脑无法关闭计算机你应该怎么办,电脑显示“清理请勿关闭计算机”怎么办?...
本文为你提供了3个有效解决电脑显示“清理请勿关闭计算机”问题的方法,并在最后教给你1种保护系统安全的好方法,一起来看看!电脑出现“清理请勿关闭计算机”在Windows 7(SP1)和Windows Server 2008 R2 SP1中,添加了1个新功能在“磁…...
2022/11/19 21:17:03 - 请勿关闭计算机还原更改要多久,电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机怎么办...
许多用户在长期不使用电脑的时候,开启电脑发现电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机。。.这要怎么办呢?下面小编就带着大家一起看看吧!如果能够正常进入系统,建议您暂时移…...
2022/11/19 21:17:02 - 还原更改请勿关闭计算机 要多久,配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以...
配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机&#x…...
2022/11/19 21:17:01 - 电脑配置中请勿关闭计算机怎么办,准备配置windows请勿关闭计算机一直显示怎么办【图解】...
不知道大家有没有遇到过这样的一个问题,就是我们的win7系统在关机的时候,总是喜欢显示“准备配置windows,请勿关机”这样的一个页面,没有什么大碍,但是如果一直等着的话就要两个小时甚至更久都关不了机,非常…...
2022/11/19 21:17:00 - 正在准备配置请勿关闭计算机,正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了解决教程...
当电脑出现正在准备配置windows请勿关闭计算机时,一般是您正对windows进行升级,但是这个要是长时间没有反应,我们不能再傻等下去了。可能是电脑出了别的问题了,来看看教程的说法。正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了方法一…...
2022/11/19 21:16:59 - 配置失败还原请勿关闭计算机,配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机...
我们使用电脑的过程中有时会遇到这种情况,当我们打开电脑之后,发现一直停留在一个界面:“配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机”,等了许久还是无法进入系统。如果我们遇到此类问题应该如何解决呢࿰…...
2022/11/19 21:16:58 - 如何在iPhone上关闭“请勿打扰”
Apple’s “Do Not Disturb While Driving” is a potentially lifesaving iPhone feature, but it doesn’t always turn on automatically at the appropriate time. For example, you might be a passenger in a moving car, but your iPhone may think you’re the one dri…...
2022/11/19 21:16:57