本文参考了本篇博客，同时加入了Phong光照模型

一、预备知识

在介绍光照模型和BRDF（双向反射分布函数）时，我们要先理解一些基本概念，这些概念与辐射度学有关

1. 能量

每个光子都具有一定的能量（Energy），能量大小与频率有关$E=hv$。用符号$Q$表示，单位是焦耳$J$

2. 功率

功率、辐射通量、通量

功率（Power），也被称为辐射通量（Radiant Flux）或者通量（Flux），指的是单位时间内通过表面或者空间区域的能量的总量。用符号$\Phi$表示，$\Phi =\frac{dQ}{dt}$，单位为瓦特$W$，或者焦耳/秒$J/S$

3. 辐照度和辐出度

辐照度（辐射通量密度）

辐出度、辐射出射度、辐射度（辐射通量密度）

• 辐照度（Irradiance）指单位时间内到达单位面积的辐射能量，或单位面积的辐射通量，即通量对于面积的密度。用符号$E$表示，$E=\frac{d\Phi }{dA}=\frac{dQ}{dtdA}$，单位$W/m^2$
• 辐出度（Radiant Existance），也称为辐射出射度、辐射度（Radiosity）。与辐照度不同的是，辐出度是衡量离开表面的通量密度，二者都可以被称为辐射通量密度（Radiant Flux Density）。用符号$M$表示

注意辐射通量和辐射通量密度之间的区别

如下图所示

一束平行光之间的间距为$d$，一个垂直入射，一个与表面法线成${\theta }_i$的角度入射，观察表面的间距，其中左图间距为$d$，右图为$\frac{d}{cos{\theta }_i}$，相对于左图，右图的间距增大了。由于辐射通量是单位时间内通过表面或空间区域内的能量总和，所以辐射通量相同；而辐射通量密度是单位时间内通过单位面积的能量，右边面积大，所以右边辐射通量密度变小

让我们来看一下二者辐射通量密度的差异：假设右图中不垂直于光线方向的表面面积为$A$，将他投影到垂直于直线方向得到一个虚拟表面，面积为$A^{\perp }=Acos{\theta }_i$，通过这两个面积的通量相同，设为$\Phi$，则表面接收到的辐射通量密度$E=\frac{\Phi }{A}$，虚拟表面的辐射通量密度$E_{\perp }=\frac{\Phi }{A^{\perp }}=\frac{\Phi }{Acos{\theta }_i}$，得到$E=E_{\perp }cos{\theta }_i$

同理对于点光源，假想以点光源为中心不同半径的求包围着点光源，穿过这些球的辐射通量是相通的，均为$\Phi$，球的表面积为$4\pi r^2$，得到辐射通量密度$E=\frac{\Phi }{4\pi r^2}$，即通量密度与距离的平方成反比，即光的衰减与距离的平方成反比

4. 辐射强度

辐射强度

立体角：度量三维角度的量，用符号$\omega$表示，立体角计算为$\omega =\frac{s}{r^2}$，单位球的表面积为$4\pi r^2=4\pi$，所以球面的立体角也为$4\pi$

辐射强度（Radiant Intensity），通过单位立体角的辐射能量，用符号$I$表示，$I=\frac{d\Phi }{dw}$，单位$W/sr$

引入辐射强度的原因是：有时候需要度量通过一个点的通量的密度，因为点的面积是0，无法直接使用辐射通量密度，所以引入辐射强度。辐射强度不会随距离的增大而衰减，这是因为立体角不会随距离的变化而变化

5. 辐射率

辐射率

辐射率（Radiance），每单位面积每单位立体角的辐射通量密度，用符号$L$表示，$L=\frac{d\Phi }{d\omega d{A}^{\perp }}$，单位为$W/m^{2}sr$，其中$d{A}^{\perp }$是微分面积$dA$在垂直于光线方向的投影，如图

辐射率可以看成我们眼睛看到（相机拍到）的物体上一点的颜色，基于物理着色时，计算表面一点的颜色就是计算它的辐射率，辐射率不会随距离变化而衰减，这和我们日常感受一致，在没有雾霾的干扰时，我们看到的物体表面上一点的颜色并不会随距离变化而变化。为什么辐照度会随距离增大而衰减，但是我们看到的颜色却不会衰减呢？这是因为随着距离变大，我们看到的物体上的一块区域到达视网膜的通量密度会变小，同时这块区域在视网膜表面上的立体角也会变小，正好抵消了通量密度的变化

二、BRDF

我们看到一个表面，实际上是周围环境的光照射到表面上，然后表面将一部分光反射到我们眼睛里。双向反射分布函数BRDF（Bidirectional Reflectance Distribution Function）就是描述表面入射光和反射光关系的

对于一个方向的入射光，表面会将光反射到表面上半球的各个方向，不同方向反射的比例是不同的，我们用BRDF来表示指定方向的反射光和入射光的比例关系，BRDF定义为：

$$f(l,v)=\frac{d{L}_o(v)}{dE(l)}$$

• $f$：BRDF，$l$是入射光方向，$v$是观察方向，即反射光方向
• $d{L}_o(v)$：表面反射到$v$方向的反射光的微分辐射率。表面反射到$v$方向的反射光的辐射率为$L_o(v)$，来自于表面上半球所有方向的入射光线的贡献，而微分辐射率$d{L}_o(v)$特指来自方向$l$的入射光贡献的反射辐射率
• $dE(l)$：表面上来自入射光方向$l$的微分辐照度。表面接收到的辐照度为$E$，来自上半球所有方向的入射光线的贡献，而微分辐照度$dE(l)$特指来自于方向$l$的入射光

表面对不同频率的光反射率可能不一样，因此BRDF和光的频率有关。在图形学中，将BRDF表示为RGB向量，三个分量各有自己的$f$函数

BRDF需要处理表面上半球的各个方向，如下图使用球坐标系定义方向更加方便。球坐标系使用两个角度来确定一个方向：

• 方向相对法线的角度$\theta$，称为极角（Polar Angle）或天顶角（Zenith Angle）
• 方向在平面上的投影相对于平面上一个坐标轴的角度$\varphi$，称为方位角（Azimuthal Angle）

所以BRDF也可以表示成$f({\theta }_i,{\varphi }_i,{\theta }_o,{\varphi }_o)$。对于各向同性材质，当$l$和$v$同时绕法线$n$旋转时，$f$值保持不变，此时可以用$l$和$v$在平面投影的夹角$\varphi$来代替${\varphi }_i$和${\varphi }_o：f({\theta }_i,{\theta }_o,\varphi )$

为什么BRDF要定义成辐射率和辐照度的比值，而不是直接定义为辐射率和辐射率比值，有两种解释

第一种解释参考BRDF为什么要定义为一个单位是sr-1的量？

结合下面辐射通量密度$(A)$和辐射率$(B)$测量仪的示意图来看：辐照度(辐射通量密度)测量仪$(A)$接受平面上半球的所有光线，可以测量一个较小面积来自于四面八方的所有光通量，光通量$\Phi$除以传感器面积$A$就可以得到辐照度(辐射通量密度)$E$。辐射度测量仪$(B)$则有一个长筒控制光线只能从一个很小的立体角进入测量仪，光通量$\Phi$除以传感器面积$A$和立体角$\omega$就可以得到辐射率$L$

测平面上一点在某一个方向的出射辐射率很简单，只需要用仪器$(B)$从该方向对准该点就可以了。而测平面一点入射的辐射率则没有那么简单，必须保证光源正好覆盖测量仪开口立体角，大了该点会接受到比测量值更多的光照，导致测量值比实际值小，小了则与仪器的设计立体角不一致，可在实际中是基本做不到光源大小正好覆盖测量仪开口立体角的。而测表面的辐照度则简单得多，只要保证光源很小，而且没有来自其他方向的光干扰，这时候测到的辐照度就是平面上来自光源方向的微分辐照度$dE$

第二种解释从数学的角度出发

对于现实世界中的非光学平面，一束光线射到表面上后，被表面反射到各个方向，其中一个出射方向的光通量只是整个反射光通量极小的一部分，当出射方向立体角趋于0时，${\lim }_{{\omega }_o\to 0}\frac{d{L}_o}{Li}=0$，所以在实际计算中使用辐射率和辐射率比值是没有意义的。而如果分母改成表面上接收到的来自光源方向的微分辐照度，我们知道$dE=L_i(l)d{\omega }_{i}cos{\theta }_i$，由于给入射辐射率乘了一个趋于零的微分立体角，$dE$的值会小很多，比值$\frac{d{L}_o}{dE}$是有意义的，而不是0

下面我们来看看怎么用BRDF来计算表面辐射率

我们考虑来自方向$l$的入射光辐射率$L_i(l)$，由辐射率和辐照度的定义：

$$L_i(l)=\frac{d\Phi }{d{\omega }_{i}d{A}^{\perp }}=\frac{d\Phi }{d{\omega }_{i}dAcos{\theta }_i}=\frac{dE(l)}{d{\omega }_{i}cos{\theta }_i}$$

则照射到表面来自于方向l的入射光贡献的微分辐照度：

$$dE(l)=L_i(l)d{\omega }_{i}cos{\theta }_i$$

表面反射到$v$方向的由来自于方向l的入射光贡献的微分辐射率：

$$d{L}_o(v)=f(l,v)\otimes dE(l)=f(l,v)\otimes L_i(l)d{\omega }_{i}cos{\theta }_i$$
符号$\otimes$表示按向量的分量相乘，因为$f$和$L_i$都包含RGB三个分量

要计算表面反射到v方向的来自上半球所有方向入射光线贡献的辐射率，可以将上式对半球所有方向的光线积分：

$$L_o(v)={\int }_{\Omega }^{}f(l,v)\otimes L_i(l)cos{\theta }_{i}d{\omega }_i$$
上式称为反射方程（Reflectance Equation），用来计算表面反射辐射率

对于点光源、方向光等理想化的精准光源（Punctual Light），计算过程可以大大简化。我们考察单个精准光源照射表面，此时表面上的一点只会被来自一个方向的一条光线照射到（而面积光源照射表面时，表面上一点会被来自多个方向的多条光线照射到），则辐射率：

$$L_o(v)=f(l,v)\otimes E_{L}cos{\theta }_i$$
对于多个精准光源，只需简单累加就可以了：

$$L_o(v)=\sum _{k=1}^{n}f(l_k,v)\otimes E_{L_k}cos{\theta }_{i_k}$$
这里使用光源的辐照度，对于阳光等全局方向光，可以认为整个场景的辐照度是一个常数，对于点光源，辐照度随距离的平方衰减，用公式$E_L=\frac{\Phi }{4\pi r^2}$就可以求出到达表面的辐照度，$\Phi$是光源的功率，比如100瓦的灯泡，r是表面离光源的距离

回头看看反射方程，是对表面上半球所有方向的入射光线积分，这里面包含了来自精准光源的光线，也包括周围环境反射的光线。处理来自周围环境的光线可以大幅提高光照的真实程度，在实时图形学中，这部分光照可以用基于图像的光照（Image Based Lighting）来模拟。我们将在下篇文章讨论基于图像的光照。

上面给出了BRDF的定义和使用BRDF计算表面反射辐射率的公式。但这个定义实际上是无法直接用于计算表面反射辐射率的，我们还要建立一个能模拟真实光照的模型，使得输入入射方向和出射方向，$f(l,v)$能输出表面反射微分辐射率和入射微分辐照度的比率。

1967年Torrance-Sparrow在Theory for Off-Specular Reflection From Roughened Surfaces中使用辐射度学和微表面理论建立了模拟真实光照的BRDF模型，1981年Cook-Torrance在A Reflectance Model for Computer Graphics中把这个模型引入到计算机图形学领域，现在这个模型已经成为基于物理着色的标准，被称为Cook-Torrance模型。下面我们来看看微表面理论和Cook-Torrance模型的推导过程。

三、Phong光照模型

光照到物体表面时，物体对光会发生反射、透射和吸收。简单光照模型只考虑物体对直接光照的反射作用，而物体间的光反射作用，只用环境光来表示。此时光源被假定为点光源，反射作用被细分为镜面反射和漫反射

Phong光照模型

根据Phong光照模型，物体被感知的亮度由环境光、漫反射光及镜面反射光组成，物体表面的反射光强度为
$$I=K_a{I}_a+K_d{I}_{l}cos(\theta )+K_s{I}_{l}co{s}^n(\alpha )$$

• $K_a{K}_d{K}_s$：分别为环境光、漫反射光及镜面反射光系数
• $I_a$：入射的环境光强度
• $I_l$：光源的入射光强度
• $\theta$：入射光与物体表面法线之间的夹角
• $\alpha$：反射光与视线之间的夹角
• $n$：镜面反射参数

1. 漫反射

理想漫反射当光源来自一个方向时，漫反射光均匀向各方向传播，与视点无关，他是由表面的粗糙不平引起的，因而漫反射光的空间分布是均匀的。记入射光强为$I_p$，物体表面上点$P$的法向量为$N$，从点$P$指向光源的向量为$L$，当$L、N$为单位向量时，理想漫反射光强表示为：
$$I_d=I_p{K}_d(L\cdot N)$$

$K_d$：与物体有关的漫反射系数，取值$(0,1)$。在RGB模型下，漫反射系数$K_d$有三个分量$K_{dr}、K_{dg}、K_{db}$分别表示RGB三原色的漫反射系数，反应物体颜色，通过调整三个分量可以改变物体的颜色，也可以吧入射光强$I$设为三个分量$I_r、I_g、I_b$通过调整这些分量来调整光源的颜色

2. 镜面反射

镜面反射光对于理想镜面，反射光集中在一个方向，并遵守反射定律。对一般光滑表面，反射光集中在一个范围内，且由反射定律决定的反射方向光强最大。因此对于同一点来说，从不同位置所观察到的镜面反射光强是不同的，镜面反射光强可以表示为：
$$I_s=I_p{K}_{s}co{s}^n\alpha \alpha \in (0,\frac{\pi }{2})$$

• $K_s$：与物体有关的镜面反射系数
• $\alpha$：视线方向$V$与反射方向$R$的夹角
• $n$：反射指数，反映了物体表面的光泽程度，一般为1~2000，数目越大表示物体表面越光滑

镜面反射光将会在反射方向附近形成很亮的光斑，称为高光现象，将$V和R$看做单位向量，镜面反射光强可以重写为：
$$I_s=I_p{K}_s(R\cdot V{)}^n$$

其中$R=2N(N\cdot L)-L$，镜面反射光产生的高光区域只反映光源的颜色，例如在红光照射下，一个物体的高光域是红光，镜面反射系数$K_s$是一个与物体颜色无关的参数，在简单光照明模型中，只能通过改变物体的漫反射系数来控制物体的颜色

3. 环境光

环境光指光源间接对物体的影响，是在物体和环境之间多次反射，最终达到平衡时的一种光，可以近似地认为同一环境下的环境光，其光强分布是均匀的，他在任何一个方向上的分布都相同，在简单光照模型中，用一个常数来模拟环境光，用式子表示为：
$$I_e=I_a{K}_a$$