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关键词：自相关系数、脑电

在介绍自相关系数之前先介绍一下相关系数。

01什么是相关系数

最常用的相关系数全称是皮尔逊相关系数，两个变量X和Y之间的相关程度，准确来说是线性相关程度。

。分子是X，Y的协方差，分母是X，Y各自的方差，其值介于-1与1之间。可以观察到相关系数与数据形状和方向之间的关系，注意最后一排的表示非线性关系。

弦相似度

和皮尔逊相关系数之间的区别，其中

叫做向量X的L2-范数,表示向量自身的长度，或者说是向量到原点的距离。

另外，如果熟悉线性回归

的话，W就代表X与Y的相关系数，多元线性回归叫做偏相关系数。在线性回归里面，对W可以大致理解为表示自变量X对因变量Y的解释程度。

02什么是自相关系数

将一个有序的随机变量序列与其自身相比较，这就是自相关函数在统计学中的定义。每个不存在相位差的序列，都与其自身相似，即在此情况下，自相关函数值最大。如果序列中的组成部分相互之间存在相关性（不再是随机的），这样的组成部分为自相关。表达为

可以观察得到R的数值越大自相关性就越大，这也就意味着时间序列不再是完全随机的非平稳序列而是更接近平稳序列。自相关性数学表达式和皮尔逊相关性数学表达式基本一致，不一样在于自相关是关注时间序列中重复事件的信息。在脑电里面就是脑电本身，我们知道干净的脑电应该是振荡的、弱非线性的，而噪声应该是无序的。

上图是一段持续了200年的太阳黑子数量的观测数据，可以观察到存在一定的周期性变化。纵轴是太阳黑子数量，横轴是观测年份。下面来看一下，其自相关系数。

上图的纵轴是自相关系数；横轴是滞后指数，单位是年(years)。通过自相关系数可以清楚的看到太阳黑子数量的变化大致是每10年左右一个周期。通过观察自相关系数可以比观察原始数据较容易地得到上述结论。如果想观察时间序列的周期性变化，自相关系数是一个很不错的工具。

03自相关系数在脑电中的应用

相对于脑电信号来说，肌电噪声更接近于杂乱无章的随机信号。这是通过自相关系数这个指标来区别脑电信号和肌电噪声的基本假设，肌电信号的大部分频段是有别于脑电信号的。对于眼电噪声和心电噪声来说，这两种噪声是比较有规律的，所以通过自相关系数来筛选是不适合的。下面来看一下，具体的应用。

上图是一段脑电降噪的benchmark数据，里面混合了眼电和肌电噪声。可以看到在F8、T4、C4、T3、C3电极上肌电噪声是非常严重的，其自相关系数分别为0.91、0.78、0.67、0.66、0.61，与电极被肌电污染程度呈正相关。相对而言，Fp1和Fp2这两个被眼电污染的电极，其自相关系数均为0.97。

补充介绍：平稳时间序列

从一个信号可不可预测的角度来看，信号分为确定信号和随机信号。确定信号，如周期性信号sin、cos，有明确的数学表达式，其未来走向完全可以用数学表达式来预测。确定信号又分为周期性信号和非周期性信号，非周期性信号中比较有代表的例子，如各种小波(wavelet)，其随时间的增加而衰减至零的信号。它们的共同特点是过程突然发生、时间短、能量很大。

随机信号是没有明确的数学表达式，其未来走向是不可预知的。随机信号分为平稳信号和非平稳信号。平稳信号是可以被统计特征描述，最典型的例子就是白噪声，白噪声的统计特征通过均值（又叫一阶矩）和方差（又叫二阶中心矩）来描述，没有更高阶（如三阶中心距-偏度，四阶中心矩-峰度，以及更高的）的统计特征。非平稳信号就是没有任何特征的信号，而收集到的原始脑电就是非平稳信号。

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