软件开发算法中的一些数学问题分享,ICG游戏
软件开发算法中的一些数学问题分享,ICG游戏
1,石子游戏
题目出处
力扣
亚历克斯和李用几堆石子在做游戏。偶数堆石子排成一行,每堆都有正整数颗石子 piles[i] 。
游戏以谁手中的石子最多来决出胜负。石子的总数是奇数,所以没有平局。
亚历克斯和李轮流进行,亚历克斯先开始。 每回合,玩家从行的开始或结束处取走整堆石头。 这种情况一直持续到没有更多的石子堆为止,此时手中石子最多的玩家获胜。
假设亚历克斯和李都发挥出最佳水平,当亚历克斯赢得比赛时返回 true ,当李赢得比赛时返回 false 。
思路:常见的为动态规划算法,轮流去很容易想到递归,然后用动态规划优化,定义二维数组 dp,其行数和列数都等于石子的堆数,元素表示当石子堆的元素剩从i到j时,状态转移方程如下
dp[i][j]=max(piles[i]−dp[i+1][j],piles[j]−dp[i][j−1])
class Solution {public boolean stoneGame(int[] piles) {int length = piles.length;int[][] dp = new int[length][length];for (int i = 0; i < length; i++) {dp[i][i] = piles[i];}for (int i = length - 2; i >= 0; i--) {for (int j = i + 1; j < length; j++) {dp[i][j] = Math.max(piles[i] - dp[i + 1][j], piles[j] - dp[i][j - 1]);}}return dp[0][length - 1] > 0;}
}
另一种方法为数学思路
假设有 nnn 堆石子,nnn 是偶数,则每堆石子的下标从 000 到 n−1n-1n−1。根据下标将 nnn 堆石子分成两组,每组有 n2\frac{n}{2}2n 堆石子,下标为偶数的石子堆属于第一组,下标为奇数的石子堆属于第二组。
在此种状态下,作为先手的人可以选择自己拿奇数组还是偶数组(拿第一个还是最后一个),后手只能根据先手的选择来进行选择,无论后手怎么选择,他拿到的都是奇数组或者偶数组,即先手可以选择自己拿奇数组或者偶数组中较大的一组,则先手必赢
class Solution {public boolean stoneGame(int[] piles) {return true;}
}
2,黑板异或游戏
力扣
黑板上写着一个非负整数数组 nums[i] 。Alice 和 Bob 轮流从黑板上擦掉一个数字,Alice 先手。如果擦除一个数字后,剩余的所有数字按位异或运算得出的结果等于 0 的话,当前玩家游戏失败。 (另外,如果只剩一个数字,按位异或运算得到它本身;如果无数字剩余,按位异或运算结果为 0。)
并且,轮到某个玩家时,如果当前黑板上所有数字按位异或运算结果等于 0,这个玩家获胜。
假设两个玩家每步都使用最优解,当且仅当 Alice 获胜时返回 true。
思路
对于本题,给定的是判断「胜利」的规则(在给定序列的情况下,如果所有数值异或和为 000 可立即判断胜利,其他情况无法立即判断胜负),那么我们应该优先判断何为「先手必胜态」,如果不好分析,才考虑分析后手的「必败态」。
接下来是分情况讨论:
- 如果给定的序列异或和为 000,游戏开始时,先手直接获胜:
由此推导出性质一:给定序列 nums 的异或和为 000,先手处于「必胜态」,返回 True。
2. 如果给定序列异或和不为 000,我们需要分析,先手获胜的话,序列会满足何种性质:
显然如果要先手获胜,则需要满足「先手去掉一个数,剩余数值异或和必然不为 0;同时后手去掉一个数后,剩余数值异或和必然为 000」。
换句话说,我们需要分析什么情况下「经过一次后手操作」后,序列会以上述情况 1 的状态,回到先手的局面。
也就是反过来分析想要出现「后手必败态」,序列会有何种性质。
假设后手操作前的异或和为 Sum(Sum/0),「后手必败态」意味着去掉任意数字后异或和为 000。
同时根据「相同数值异或结果为 000」的特性,我们知道去掉某个数值,等价于在原有异或和的基础上异或上这个值。
则有:Sum′=Sum⊕nums[i]=0
由于是「后手必败态」,因此 iii 取任意一位,都满足上述式子。
则有:
Sum⊕nums[0]=…=Sum⊕nums[k]=…=Sum⊕nums[n−1]=0Sum ⊕ nums[0] = … = Sum ⊕ nums[k] = … = Sum ⊕ nums[n - 1] = 0 Sum⊕nums[0]=…=Sum⊕nums[k]=…=Sum⊕nums[n−1]=0
同时根据「任意数值与 0 异或数值不变」的特性,我们将每一项进行异或:
(Sum⊕nums[0])⊕…⊕(Sum⊕nums[k])⊕…⊕(Sum⊕nums[n−1])=0(Sum ⊕ nums[0]) ⊕ … ⊕ (Sum ⊕ nums[k]) ⊕ … ⊕ (Sum ⊕ nums[n - 1]) = 0 (Sum⊕nums[0])⊕…⊕(Sum⊕nums[k])⊕…⊕(Sum⊕nums[n−1])=0
根据交换律进行变换:
(Sum⊕Sum⊕…⊕Sum)⊕(nums[0]⊕…⊕nums[k]⊕…⊕nums[n−1])=0(Sum ⊕ Sum ⊕ … ⊕ Sum) ⊕ (nums[0] ⊕ … ⊕ nums[k] ⊕ … ⊕ nums[n - 1]) = 0 (Sum⊕Sum⊕…⊕Sum)⊕(nums[0]⊕…⊕nums[k]⊕…⊕nums[n−1])=0
再结合 SumSumSum 为原序列的异或和可得:
(Sum⊕Sum⊕…⊕Sum)⊕Sum=0,Sum≠0(Sum ⊕ Sum ⊕ … ⊕ Sum) ⊕ Sum = 0 , Sum \neq 0 (Sum⊕Sum⊕…⊕Sum)⊕Sum=0,Sum=0
至此,我们分析出当处于「后手必败态」时,去掉任意一个数值会满足上述式子。
根据「相同数值偶数次异或结果为 0」的特性,可推导出「后手必败态」会导致交回到先手的序列个数为偶数,由此推导后手操作前序列个数为奇数,后手操作前一个回合先手为偶数。
到这一步,我们推导出想要出现「后手必败态」,先手操作前的序列个数应当为偶数。
那么根据先手操作前序列个数为偶数(且异或和不为 0),是否能够推导出必然出现「后手必败态」呢?
显然是可以的,因为如果不出现「后手必败态」,会与我们前面分析过程矛盾。
假设先手操作前异或和为 XorXorXor(序列数量为偶数,同时 Xor≠0Xor \neq 0Xor=0),如果最终不出现「后手必败态」的话,也就是先手会输掉的话,那么意味着有 Xor⊕nums[i]=0Xor ⊕ nums[i] = 0Xor⊕nums[i]=0,其中 iii 为序列的任意位置。利用此性质,像上述分析那样,将每一项进行展开异或,会得到奇数个 XorXorXor 异或结果为 0,这与开始的 Xor!=0 矛盾。
由此推导出性质二:只需要保证先手操作前序列个数为偶数时就会出现「后手必败态」,从而确保先手必胜。
综上,如果序列 nums 本身异或和为 0,天然符合「先手必胜态」的条件,答案返回 True ;如果序列 nums 异或和不为 0,但序列长度为偶数,那么最终会出现「后手必败态」,推导出先手必胜,答案返回 True。
对于这两种题型的共同点为很容易想到dp,但是仔细想想会发现有点类似于井字棋,都存在先手必胜或必败的情况,具体描述引用如下,
百度搜索ICG博弈, ICG博弈是这类博弈的总括性理论. 这类博弈的核心特征在于, 只根据初始状态就可以判断双方的输赢情况
看对一些同学有帮助, 顺便把我自己的总结放在这里.
经典的Bash, Wythoff 以及Nim博弈问题, 都属于所谓的公平组合博弈(Impartial Combinatorial Games, ICG), ICG具有的的特征/性质如下(用局势(position)描述游戏中的一个状态):
两人参与, 轮流进行, 有限步内结束.
position空间只能划分为两个部分: 奇异局势(P-position)空间和非奇异局势(N-position)空间.
面对同一position, 两人具有相同的合法操作集合; 即选手的操作只与position有关而与选手无关.
对于任一P-position, 任意的合法操作都会使其变成N-position; 对于任一N-position至少存在一种合法操作使其变为P-position. (position空间的划分要满足此性质)
结束局势(E-position)定义为N-position空间中的一些, 面对它的选手赢; 或者定义为P-position空间中的一些, 面对它的选手输. (面对是指上一位选手操作完毕, 轮到当前选手, 而当前选手还未操作)
如果一个游戏满足上述性质, 即为ICG游戏. 那么由于P-position/N-position之间的这种转换关系(性质4), 我们就能, 只根据初始局势就可以判断双方的输赢情况. 通常判断先手是否赢, 先手赢的条件是初始局势为N-position.
启示: 面对一个博弈论(Game theory)问题, 我们可以大胆猜测它是一个ICG问题. 然后通过输赢关系找出一些N-position和P-position, 并尝试划分出各自的空间. 最后, 证明第4个性质. 当然在比赛中, 如果比较难证明, 我们可以直接通过提交代码来测试.
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解析如下:1、长按电脑电源键直至关机,然后再按一次电源健重启电脑,按F8健进入安全模式2、安全模式下进入Windows系统桌面后,按住“winR”打开运行窗口,输入“services.msc”打开服务设置3、在服务界面,选中…...
2022/11/19 21:17:18 - 错误使用 reshape要执行 RESHAPE,请勿更改元素数目。
%读入6幅图像(每一幅图像的大小是564*564) f1 imread(WashingtonDC_Band1_564.tif); subplot(3,2,1),imshow(f1); f2 imread(WashingtonDC_Band2_564.tif); subplot(3,2,2),imshow(f2); f3 imread(WashingtonDC_Band3_564.tif); subplot(3,2,3),imsho…...
2022/11/19 21:17:16 - 配置 已完成 请勿关闭计算机,win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机...
win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机”问题的解决方法在win7系统关机时如果有升级系统的或者其他需要会直接进入一个 等待界面,在等待界面中我们需要等待操作结束才能关机,虽然这比较麻烦,但是对系统进行配置和升级…...
2022/11/19 21:17:15 - 台式电脑显示配置100%请勿关闭计算机,“准备配置windows 请勿关闭计算机”的解决方法...
有不少用户在重装Win7系统或更新系统后会遇到“准备配置windows,请勿关闭计算机”的提示,要过很久才能进入系统,有的用户甚至几个小时也无法进入,下面就教大家这个问题的解决方法。第一种方法:我们首先在左下角的“开始…...
2022/11/19 21:17:14 - win7 正在配置 请勿关闭计算机,怎么办Win7开机显示正在配置Windows Update请勿关机...
置信有很多用户都跟小编一样遇到过这样的问题,电脑时发现开机屏幕显现“正在配置Windows Update,请勿关机”(如下图所示),而且还需求等大约5分钟才干进入系统。这是怎样回事呢?一切都是正常操作的,为什么开时机呈现“正…...
2022/11/19 21:17:13 - 准备配置windows 请勿关闭计算机 蓝屏,Win7开机总是出现提示“配置Windows请勿关机”...
Win7系统开机启动时总是出现“配置Windows请勿关机”的提示,没过几秒后电脑自动重启,每次开机都这样无法进入系统,此时碰到这种现象的用户就可以使用以下5种方法解决问题。方法一:开机按下F8,在出现的Windows高级启动选…...
2022/11/19 21:17:12 - 准备windows请勿关闭计算机要多久,windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机怎么办...
有不少windows10系统用户反映说碰到这样一个情况,就是电脑提示正在准备windows请勿关闭计算机,碰到这样的问题该怎么解决呢,现在小编就给大家分享一下windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机的具体第一种方法:1、2、依次…...
2022/11/19 21:17:11 - 配置 已完成 请勿关闭计算机,win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机”的解决方法...
今天和大家分享一下win7系统重装了Win7旗舰版系统后,每次关机的时候桌面上都会显示一个“配置Windows Update的界面,提示请勿关闭计算机”,每次停留好几分钟才能正常关机,导致什么情况引起的呢?出现配置Windows Update…...
2022/11/19 21:17:10 - 电脑桌面一直是清理请关闭计算机,windows7一直卡在清理 请勿关闭计算机-win7清理请勿关机,win7配置更新35%不动...
只能是等着,别无他法。说是卡着如果你看硬盘灯应该在读写。如果从 Win 10 无法正常回滚,只能是考虑备份数据后重装系统了。解决来方案一:管理员运行cmd:net stop WuAuServcd %windir%ren SoftwareDistribution SDoldnet start WuA…...
2022/11/19 21:17:09 - 计算机配置更新不起,电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?
原标题:电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?win7系统中在开机与关闭的时候总是显示“配置windows update请勿关闭计算机”相信有不少朋友都曾遇到过一次两次还能忍但经常遇到就叫人感到心烦了遇到这种问题怎么办呢?一般的方…...
2022/11/19 21:17:08 - 计算机正在配置无法关机,关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机...
关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!关机提示 windows7 正在配…...
2022/11/19 21:17:05 - 钉钉提示请勿通过开发者调试模式_钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用...
钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用 更新时间:2020-04-20 22:24:19 浏览次数:729次 区域: 南阳 > 卧龙 列举网提醒您:为保障您的权益,请不要提前支付任何费用! 虚拟位置外设器!!轨迹模拟&虚拟位置外设神器 专业用于:钉钉,外勤365,红圈通,企业微信和…...
2022/11/19 21:17:05 - 配置失败还原请勿关闭计算机怎么办,win7系统出现“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”,长时间没反应,无法进入系统的解决方案...
前几天班里有位学生电脑(windows 7系统)出问题了,具体表现是开机时一直停留在“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”这个界面,长时间没反应,无法进入系统。这个问题原来帮其他同学也解决过,网上搜了不少资料&#x…...
2022/11/19 21:17:04 - 一个电脑无法关闭计算机你应该怎么办,电脑显示“清理请勿关闭计算机”怎么办?...
本文为你提供了3个有效解决电脑显示“清理请勿关闭计算机”问题的方法,并在最后教给你1种保护系统安全的好方法,一起来看看!电脑出现“清理请勿关闭计算机”在Windows 7(SP1)和Windows Server 2008 R2 SP1中,添加了1个新功能在“磁…...
2022/11/19 21:17:03 - 请勿关闭计算机还原更改要多久,电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机怎么办...
许多用户在长期不使用电脑的时候,开启电脑发现电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机。。.这要怎么办呢?下面小编就带着大家一起看看吧!如果能够正常进入系统,建议您暂时移…...
2022/11/19 21:17:02 - 还原更改请勿关闭计算机 要多久,配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以...
配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机&#x…...
2022/11/19 21:17:01 - 电脑配置中请勿关闭计算机怎么办,准备配置windows请勿关闭计算机一直显示怎么办【图解】...
不知道大家有没有遇到过这样的一个问题,就是我们的win7系统在关机的时候,总是喜欢显示“准备配置windows,请勿关机”这样的一个页面,没有什么大碍,但是如果一直等着的话就要两个小时甚至更久都关不了机,非常…...
2022/11/19 21:17:00 - 正在准备配置请勿关闭计算机,正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了解决教程...
当电脑出现正在准备配置windows请勿关闭计算机时,一般是您正对windows进行升级,但是这个要是长时间没有反应,我们不能再傻等下去了。可能是电脑出了别的问题了,来看看教程的说法。正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了方法一…...
2022/11/19 21:16:59 - 配置失败还原请勿关闭计算机,配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机...
我们使用电脑的过程中有时会遇到这种情况,当我们打开电脑之后,发现一直停留在一个界面:“配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机”,等了许久还是无法进入系统。如果我们遇到此类问题应该如何解决呢࿰…...
2022/11/19 21:16:58 - 如何在iPhone上关闭“请勿打扰”
Apple’s “Do Not Disturb While Driving” is a potentially lifesaving iPhone feature, but it doesn’t always turn on automatically at the appropriate time. For example, you might be a passenger in a moving car, but your iPhone may think you’re the one dri…...
2022/11/19 21:16:57