因为计算机只能处理离散数据，所以即使真实信号是连续的，我们也只能采集它的一些离散样本输入计算机中做后续处理。这种用离散序列表示连续信号的操作叫做采样(sampling)。根据每次采样间隔是否均匀可以把采样分为周期性采样(periodic sampling)与非周期性采样(non-periodic sampling)，这一讲讨论周期性采样。

周期性采样的数学表示

之前介绍光学中常用特殊函数时介绍了comb函数，它的定义是
$$comb(x)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\delta (x-n)$$

根据Dirac函数的sifting property，comb函数与函数$f(x)$相乘时，作用是把$f(x)$变成序列{f(n)}\{f(n)\}{f(n)}，也就是每间隔1单位做一次采样，假设我们希望的采样间隔为$\Delta$，则只需要用$f(x)$与$comb(x/\Delta )$相乘就能得到间隔为$\Delta$的样本序列了。由此我们定义信号$f(x)$的采样间隔为$\Delta$的采样函数(sampled function)为
$$f_S(x)=f(x)\cdot \left(\frac{1}{\Delta }comb(x/\Delta )\right)$$

其中$1/\Delta$的作用是做标准化，保证采样得到的离散信号相对源信号不会被放大或者缩小，从数学上讲它的作用是保证脉冲函数的归一性${\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\Delta }\delta (x/\Delta -n)dx=1={\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta (x-n\Delta )dx$，所以
$$f_S(x)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }f(x_n)\delta (x-x_n),x_n=n\Delta$$

采样函数的频率谱
假设$F(\xi )=\mathcal{F}[f(x)]$，则$$F_S(\xi )=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }F(\xi -n{\xi }_S)$$

其中${\xi }_S=\frac{1}{\Delta }$被称为采样频率，这个结果说明采样函数的频率谱就是源信号的频率谱平移{nξS}\{n\xi_S\}{nξS​}后的叠加。

用卷积定理可以得到上述结果：
$$\begin{array}{rl}{F}_S(\xi )& =\mathcal{F}\left[f(x)\cdot \left(\frac{1}{\Delta }comb(x/\Delta )\right)\right]\\ & =\mathcal{F}[f(x)]\ast \mathcal{F}\left[\frac{1}{\Delta }comb(x/\Delta )\right]\\ & =F(\xi )\ast comb(\xi /{\xi }_S)\\ & =F(\xi )\ast \sum _{n=-\infty }^{+\infty }\delta (\xi -n{\xi }_S)\\ & =\sum _{n=-\infty }^{+\infty }F(\xi -n{\xi }_S)\end{array}$$

Nyquist-Shannon采样定理

Band-limited Function 在某个区间内有非零频率谱的函数被称为Band-limited Function，用$f_B(x)$来表示，其中$B$代表带宽，则它的数学定义为
$$F_B(\xi )=\mathcal{F}[f_B(x)]\{\begin{array}{l}>0,|\xi |\le \frac{B}{2}\\ =0,|\xi |>\frac{B}{2}\end{array}$$

采样定理 这个定理想讨论的问题是离散的样本序列能不能代表完整的信号，毕竟把连续信号用离散序列表示本身是有信息损失的。这个问题在Shannon之前，Whittaker、Nyquist等人已经讨论过了，到Shannon时候，他建立了完整的理论，也就是现在非常有用的信息论，他认为源信号是Band-limited Function时，只要采样频率大于源信号频率谱的带宽（${\xi }_S>B$），那么采样得到的离散信号就可以完美得重构出源信号。

Shannon的思想可以用一个很简单的filter论证，

现在我们有采样函数的频谱$F_S(\xi )$，引入一个滤波器
$$\begin{gathered} \mathcal{F}[h(x)]=H(\xi ) \\ h(x)=Bsinc(B),H(\xi )=rect(\xi /B) \end{gathered}$$

采样函数的频谱与这个滤波器作用后的结果为
$$\hat{F}(\xi )=F_S(\xi )H(\xi )=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }F(\xi -n{\xi }_S)H(\xi )$$

因为$H(\xi )=rect(\xi /B)=0$，$\forall |\xi |\ge B/2$，也就是说在一个带宽以外的频谱无法通过滤波器，只有$n=0$时的频谱$F(\xi )$可以保留下来，所以${\xi }_S>B$时，
$$\hat{F}(\xi )=F(\xi )$$

也即通过采样函数可以完美还原出源信号的频谱。

根据卷积定理，
$$\begin{gathered} \hat{f}(x)={\mathcal{F}}^{-1}[F_S(\xi )H(\xi )]=f_S(x)\ast h(x) \\ =\sum _{n=-\infty }^{+\infty }f(x_n)\delta (x-x_n)\ast Bsinc(Bx)=B\sum _{n=-\infty }^{+\infty }f(x_n)sinc(B(x-x_n)) \end{gathered}$$

相当于用sinc曲线连接离散序列{f(xn)}\{f(x_n)\}{f(xn​)}做插值来还原$f(x)$，当${\xi }_S>B$时，$\hat{f}(x)\propto f(x)$。

如果${\xi }_S<B$，则组成$F_S(\xi )$的各段频域会重叠，用$H(\xi )$这个滤波器得到的频域包含左右两端重叠部分，导致还原出的频谱$\hat{F}(\xi )$与源信号频域$F(\xi )$不一致。