矩阵树定理
矩阵树定理是一个计数定理,常用于解决无向联通图的生成树计数问题。
若连通图G的邻接矩阵为A,将A的对角线(i,i)元素依次换为节点i的度,其余元素(i,j) (j!=i) 取Aij的相反数,所得矩阵记为M,则M的每个代数余子式相等,且等于G的生成树的数目.这就是矩阵-树定理.
应用矩阵树定理解无向联通图的生成树计数问题,也就是求解这个联通图的基尔霍夫(Kirchhoff)矩阵的某个代数余子式的值。对于此类行列式求值的问题,常用的方法是高斯消元法,将原行列式变成一个等价的上三角行列式,进而快速得到其值。其时间复杂度是O()的,
例题
Luogu P4336 [SHOI2016]黑暗前的幻想乡
思路
矩阵树定理+容斥原理
代码
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int Mod=1e9+7;
const int N=18;
inline int q_pow(int a,int b,int p){int ans=1;while(b){if(b&1)ans=1ll*ans*a%p;a=1ll*a*a%p; b>>=1;}return ans%p;
}
int kir[N][N];//Kirchhoff矩阵
int m[N],u[N][N*N],v[N][N*N],siz[1<<N];
int det(int n){int ans=1; bool f=0;for(int i=1;i<=n;i++){if(!kir[i][i]){for(int j=i+1;j<=n;j++){if(!kir[j][i])continue; f^=1;for(int k=1;k<=n;k++)swap(kir[i][k],kir[j][k]);}}for(int j=i;j<=n;j++){if(!kir[j][i])continue;int div=q_pow(kir[j][i],Mod-2,Mod); ans=1ll*ans*kir[j][i]%Mod;for(int k=i;k<=n;k++)kir[j][k]=1ll*kir[j][k]*div%Mod;}for(int j=i+1;j<=n;j++){if(!kir[j][i])continue;for(int k=i;k<=n;k++){kir[j][k]-=kir[i][k];if(kir[j][k]<0)kir[j][k]+=Mod;}}}for(int i=1;i<=n;i++)ans=1ll*ans*kir[i][i]%Mod;return f?(ans?Mod-ans:0):ans;
}
int main(){int n,t,ans=0;scanf("%d",&n); t=(1<<n-1)-1;for(int i=1;i<n;i++){scanf("%d",&m[i]);for(int j=1;j<=m[i];j++)scanf("%d%d",&u[i][j],&v[i][j]);}for(int i=1;i<=t;i++)siz[i]=siz[i>>1]+(i&1);for(register int i=1;i<=t;i++){memset(kir,0,sizeof(kir));for(register int j=1,p=i;p;p>>=1,j++){if(!(p&1))continue;for(register int k=1;k<=m[j];k++){int U=u[j][k],V=v[j][k]; kir[U][U]++; kir[V][V]++;kir[U][V]--; kir[V][U]--;if(kir[U][V]<0)kir[U][V]+=Mod;if(kir[V][U]<0)kir[V][U]+=Mod;}}ans+=n-siz[i]&1?det(n-1):-det(n-1);if(ans>=Mod)ans-=Mod;else if(ans<0)ans+=Mod;}printf("%d\n",ans);return 0;
}
矩阵-树定理_百度百科
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2022/11/19 21:17:03 - 请勿关闭计算机还原更改要多久,电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机怎么办...
许多用户在长期不使用电脑的时候,开启电脑发现电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机。。.这要怎么办呢?下面小编就带着大家一起看看吧!如果能够正常进入系统,建议您暂时移…...
2022/11/19 21:17:02 - 还原更改请勿关闭计算机 要多久,配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以...
配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机&#x…...
2022/11/19 21:17:01 - 电脑配置中请勿关闭计算机怎么办,准备配置windows请勿关闭计算机一直显示怎么办【图解】...
不知道大家有没有遇到过这样的一个问题,就是我们的win7系统在关机的时候,总是喜欢显示“准备配置windows,请勿关机”这样的一个页面,没有什么大碍,但是如果一直等着的话就要两个小时甚至更久都关不了机,非常…...
2022/11/19 21:17:00 - 正在准备配置请勿关闭计算机,正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了解决教程...
当电脑出现正在准备配置windows请勿关闭计算机时,一般是您正对windows进行升级,但是这个要是长时间没有反应,我们不能再傻等下去了。可能是电脑出了别的问题了,来看看教程的说法。正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了方法一…...
2022/11/19 21:16:59 - 配置失败还原请勿关闭计算机,配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机...
我们使用电脑的过程中有时会遇到这种情况,当我们打开电脑之后,发现一直停留在一个界面:“配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机”,等了许久还是无法进入系统。如果我们遇到此类问题应该如何解决呢࿰…...
2022/11/19 21:16:58 - 如何在iPhone上关闭“请勿打扰”
Apple’s “Do Not Disturb While Driving” is a potentially lifesaving iPhone feature, but it doesn’t always turn on automatically at the appropriate time. For example, you might be a passenger in a moving car, but your iPhone may think you’re the one dri…...
2022/11/19 21:16:57