auc 可以理解为：随机抽出一对样本（一个正样本，一个负样本），然后用训练得到的分类器来对这两个样本进行预测，预测得到正样本的概率大于负样本概率的概率。

1 三种求解方法

方法 1

在有$M$个正样，$N$个负样本的数据集里。一共有$M\ast N$对样本（一对样本即，一个正样本与一个负样本）。统计这M*N对样本里，正样本的预测概率大于负样本的预测概率的个数。

$$\frac{\sum I(Pre{d}_{pos},Pre{d}_{neg})}{M\ast N}$$

如果$Pre{d}_{pos}>Pre{d}_{neg}$，$I(Pre{d}_{pos},Pre{d}_{neg})=1$，如果$Pre{d}_{pos}=Pre{d}_{neg}$，$I(Pre{d}_{pos},Pre{d}_{neg})=0.5$，否则为0.

-	label	score
A	0	0.1
B	0	0.4
C	1	0.35
D	1	0.8

2个正样本，2个负样本，$M=N=2$，有下面几个组合，（D,B）,（D,A）,(C,B),（C,A）。 在（D,B）样本对中，正样本D预测的概率大于负样本B预测的概率（也就是D的得分比B高），记为1。同理，对于（C,B）。正样本C预测的概率小于负样本C预测的概率，记为0.

上面AUC可以计算为 $\frac{1+1+1+0}{2\ast 2}=0.75$。

-	label	score
A	0	0.1
B	0	0.4
C	1	0.4
D	1	0.8

上面AUC可以计算为 $\frac{1+1+1+0.5}{2\ast 2}=0.875$。

方法 2

• 对预测概率从高到低排序
• 对每一个概率值设一个rank值（最高的概率的rank为n,第二高的为n-1）
• rank实际上代表了该score（预测概率）超过的样本的数目。为了求的组合中正样本的score值大于负样本，如果所有的正样本score值都是大于负样本的，那么第一位与任意的进行组合score值都要大，我们取它的rank值为n，但是n-1中有M-1是正样例和正样例的组合这种是不在统计范围内的（为计算方便我们取n组，相应的不符合的有M个），所以要减掉，那么同理排在第二位的n-1，会有M-1个是不满足的，依次类推，故得到后面的公式M*(M+1)/2，我们可以验证在正样本score都大于负样本的假设下，AUC的值为1

$$\frac{{\sum }_{i\in positive-class}ran{k}_i-\frac{M(1+M)}{2}}{M\ast N}$$

以它为例

-	label	score
A	0	0.1
B	0	0.4
C	1	0.35
D	1	0.8

排序后

-	label	score	rank
D	1	0.8	4
B	0	0.4	3
C	1	0.35	2
A	0	0.1	1

$\frac{(4+2)-\frac{2\ast (2+1)}{2}}{2\ast 2}=0.75$

如果出现得分一样的情况：

-	label	score	rank
A	1	0.8	7
B	1	0.7	6
C	0	0.5	5
D	0	0.5	4
E	1	0.5	3
F	1	0.5	2
G	0	0.3	1

$\frac{(7+6+\frac{5+4+3+2}{4}+\frac{5+4+3+2}{4})-\frac{4\ast (4+1)}{4}}{4\ast 3}=0.833$

方法 3

AUC 曲线下的面积

2 python实现

下面code实现了前两种方法

# 方法1
def AUC1(label, pre):pos = [i for i in range(len(label)) if label[i] == 1]neg = [i for i in range(len(label)) if label[i] == 0]auc = 0for i in pos:for j in neg:if pre[i] > pre[j]:auc += 1elif pre[i] == pre[j]:auc += 0.5if not pos or not neg:return Nonereturn auc / (len(pos)*len(neg))# 方法2
def AUC2(label, pre):new_data = [[p, l] for p, l in zip(pre, label)]new_data.sort(key = lambda x : x[0])score_index = {}for index, i in enumerate(new_data):if i[0] not in score_index:score_index[i[0]] = []score_index[i[0]].append(index + 1)rank_sum = 0.for i in new_data:if i[1] == 1:rank_sum += sum(score_index[i[0]]) / len(score_index[i[0]]) * 1.0pos = label.count(1)neg = label.count(0)if not pos or not neg:return Nonereturn (rank_sum - (pos * (pos + 1) * 0.5)) / (pos * neg)label = [1, 1, 1, 1, 1, 1]
score = [0.1, 0.4, 0.35, 0.8, 0.8, 0.9]print(AUC1(label, score))
print(AUC2(label, score))

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