积分证明题是考研中难度较大的板块，很多学弟学妹们希望我出一篇总结文章，故作本文，希望对大家有所帮助。 本文所涉及题目，均是来自市面上常见题册（李林880，张宇1000题，汤家凤1800等）

由于内容较多，故分为三部分：

等式证明（本文所讲）
由积分判断函数零点个数（后续更新）
不等式证明（后续更新）

积分等式证明：

大致分为有参数和无参数两部分。方法总结如下图所示：

方法一览

1.无参数等式证明

无参数说白了，就是题目中不含“存在一点x，使得xxxxx”这样的语句。针对无参数等式，我们通常是从积分上下限和被积函数入手，进行思考。

a.分部积分

使用信号：
题目中含有 ${\int }_a^b{u}^{(k)}vdx和{\int }_a^{b}u{v}^{(k)}dx$ 时，可以考虑使用分部积分。

原因分析：
分部积分就是：${\int }_a^b{u}^{\prime }(x)v(x)dx=u(x)v(x){|}_a^b-{\int }_a^{b}u(x)v^{\prime }(x)dx$
即是把求 $u^{\prime }v$ 的积分转变为求 $uv$ 的积分。所以不难得出分部积分的“功效”就是让积分号里面的两个函数一个求导一个积分。
这里$uv$没有考虑是因为对于分部积分而言，$uv$并不难解决，容易算出来。因此关键还是两个积分的转换。
由于分部积分可以连续使用，所以可以使积分号里面的一个函数求导若干次另一个积分若干次，如下使用k次(k为偶数)分部积分：
${\int }_a^b{u}^{(k)}vdx=$某些式子$+{\int }_a^{b}u{v}^{(k)}dx$
若此时“某些式子”可以根据题目条件或者自身特性求出来等于0，此时即有最简形式：
${\int }_a^b{u}^{(k)}vdx={\int }_a^{b}u{v}^{(k)}dx$
由此可见，如果题目让你求含有 ${\int }_a^b{u}^{(k)}vdx和{\int }_a^{b}u{v}^{(k)}dx$ 可以考虑使用分部积分来解。

例题解析：

本题就是找到了 ${\int }_0^1{u}^{(2)}vdx和{\int }_0^{1}u{v}^{(2)}dx$ ，进而判断是用分部积分，且需要用两次。

b.区间再现公式

使用信号：
等式中两个积分上下限相同。且其中一个积分可以看成这种形式：${\int }_a^{b}f(x)g(x)dx，y=g(x)$图像关于 $x=\frac{a+b}{2}$ 对称， $y=f(x)$图像 关于 $x=\frac{a+b}{2}$ 上某点中心对称时，考虑使用。

原因分析：
区间再现公式为： $I={\int }_a^{b}f(x)g(x)dx通过换元t=a+b-x得到：I={\int }_a^{b}f(a+b-t)g(a+b-t)dt$ ,两者再相加除以2得：
$I=\frac{1}{2}{\int }_a^b[f(a+b-x)g(a+b-x)+f(x)g(x)]dx$ 。可见经过这个换元之后，积分上下限没有发生变化——所以叫区间再现。什么时候使用这个方法呢？当然在
$f(a+b-x)g(a+b-x)+f(x)g(x)比f(x)g(x)$ 更简单（更容易积分）时使用。
那什么时候更简单？
显而易见：$y=g(x)图像关于x=\frac{a+b}{2}$ 对称， $y=f(x)关于x=\frac{a+b}{2}$ 上某点中心对称时。
此时： $g(a+b-x)=g(x),f(a+b-x)+f(x)=c$
进而：$f(a+b-x)g(a+b-x)+f(x)g(x)=cg(x)$
从而：$I=\frac{c}{2}{\int }_a^{b}g(x)dx$ ，即有： $I={\int }_a^{b}f(x)g(x)dx=\frac{c}{2}{\int }_a^{b}g(x)dx$
为了方便，上述证明作为下面例题的引证。

例题解析：

c.换元积分

使用信号：
上述两种方法搞不定时，尝试使用。
换元分类：
有两种常见的换元方法，一个就是 $x=kt+m$ ，另一个就是 $x=\frac{ab}{t}$
第一种( $x=kt+m$)：
${\int }_a^b\to {\int }_c^d（b>a,d>c）$
设 $x=kt+m$ ，于是有

相关例题：

第二种($x=\frac{ab}{t}$)：
${\int }_a^{b}f(x)dx$ 通过换元 $x=\frac{ab}{t}$ 得到 $ab{\int }_a^b\frac{1}{t^2}f(\frac{ab}{t})dt$

相关例题：

2.有参数等式证明

有参数就是题目中含有“存在一点x，使得xxxxx”这样的语句。针对有参数的题目，我们需要研究这个参数是怎么来的，进而得到多种方法。

得到参数的方法常见有如下几种：

零点定理
介值定理
积分中值定理
微分中值定理

下面来围绕这几点来写：
由于直接使用介值定理和积分中值定理的题目较为简单，所以这里主要讲它俩和其他方法混用的情况。

a.零点定理

解题思路：
移项设函数 $\to$ 找两点 $\to$ 零点定理

具体例题：

b.泰勒展开+介值定理

使用信号：
等式中含有 ${\int }_a^{b}f(x)dx$ 和 $f^{\prime \prime }(\xi )$ 时，考虑使用
解题思路：
在某点泰勒展开 $\to$ 积分 $\to$ 介值定理
例题如下：

运用泰勒展开的其中一个关键问题在于：在哪点展开。一般来说，是在区间中点处展开，因为这样积分的话，可以消除奇数阶导数，简化展开式。本题也是在中点0处展开的。

c.分部积分+积分中值定理

使用信号：
等式中含有 ${\int }_a^{b}f(x)g(x)dx和g{\int }_a^{\xi }fdx$或 $g{\int }_{\xi }^{b}fdx$ 时，考虑使用
解题思路：
设 $F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt\to$ 分部积分 $\to$ 积分中值定理 $\to$ 化简即可

例题如下：

d.微分中值定理

该方法关键步骤就是设 $F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$ ，这样进而将含有积分的等式转变为不含积分的等式。从而能用微分中值定理的相关知识进行求解。

解题思路
设 $F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt\to$ 变形 $\to$ 运用微分中值定理
具体使用哪种微分中值定理，可以根据变形后的式子来确定
例题如下：

罗尔定理例题：

拉格朗日中值定理：

柯西中值定理：

到此结束！！
我是煜神学长，22考研我们一起加油！