欧拉定理(费马小定理)
欧拉定理(费马小定理)
- 放在前面
- 同余:
- 同余类:
- 剩余系:
- 完全剩余系:
- 简化剩余系:
- 欧拉定理与费马小定理
- 欧拉定理
- 费马小定理
放在前面
同余:
对于任意的a,b除以m余数相同,则称a,b模m同余,记作:a ≡ b ( mod m )
同余类:
对于 ∀ a ∈ [ 0 , m−1 ],集合a+km(k∈ z)的所有数模m同余(都是a),记作 [a];
剩余系:
对正整数n,N*中所有数模n所得的余数域;
完全剩余系:
对正整数n,有r1......rn个同余类,这些同余类组成的集合就是完全剩余系;
简化剩余系:
从完全剩余系下、中取与n互质的同余类元素,这些元素对模n两两不同余,组成的就是简化同余系;(乘法封闭)
例如:
常见的月历:1~31中
模7可以得到七个同余类:[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6];
完全剩余系就是这七个同余类的集合
欧拉定理与费马小定理
欧拉定理
**若正整数 a, n 互质,则 a ^φ(n)≡1(modn) 其中 φ(n) 为欧拉函数。**
证明:
因为模m的同余类有m个,分别是[0],[1],[2]…
与m互质的数有φ(m)个,构成m的简化剩余系;
gcd(a,m)=gcd(b,m)=1,gcd(ab,m)=1;
所以aa,aa2…aaφ(n)就是简化剩余系;
a1a2…ana^φ(n)≡(aa1)(aa2)…(aaφ(n))≡a1…an
同除a1…an得到欧拉定理
费马小定理
**设m为素数,a为任意整数,且 gcd(a,m)=1,则a^(m-1) ≡ 1 ( mod m )**
证明:
因为p为质数,φ(n)=p-1;
代入欧拉定理得到费马小定理
a^(p-1)与1关于p同余
可以用来降幂
a(n%p)=a(n%(p-1))%p;
求a的n次方,可以先n%(p-1)。
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Apple’s “Do Not Disturb While Driving” is a potentially lifesaving iPhone feature, but it doesn’t always turn on automatically at the appropriate time. For example, you might be a passenger in a moving car, but your iPhone may think you’re the one dri…...
2022/11/19 21:16:57