一种针对有序数据集合的查找方法：二分查找（Binary Search），折半查找。

二分思想

二分查找是一种非常简单易懂的快速查找算法。

猜测0-99中的目标数字，target = 23 。如果是 0 到 999 的数字，最多也只要 10 次就能猜中。

对有序表折半查找，其最坏情况下查找一个元素的最大比较次数将介于1和 [ log2n ] + 1 ( n为元素的个数)之间。

假设有 10 个订单，订单金额分别是：8，11，19，23，27，33，45，55，67，98。利用二分思想，每次都与区间的中间数据比对大小，缩小查找区间的范围。如图，其中 low 和 high 表示待查找区间的下标，mid 表示待查找区间的中间元素下标。

​🧨二分查找针对的是一个有序的数据集合，查找思想有点类似分治思想 —— 每次都通过跟区间的中间元素对比，将待查找的区间缩小为之前的一半，直到找到要查找的元素，或者区间被缩小为 0。

O(logn) 查找速度 —— 时间复杂度

假设数据大小是 n，每次查找后数据都会缩小为原来的一半，也就是会除以 2。最坏情况下，直到查找区间被缩小为空，才停止。

可以看出来，上述是一个等比数列。其中 n/(2^k)=1 时，k 的值就是总共缩小的次数，每一次区间缩小的操作只涉及两个数据的大小比较，所以经过 k 次区间缩小操作，时间复杂度就是 O(k)。通过 n/(2^k)=1，可以求得 k=log2n，即时间复杂度为 O(logn)。

二分查找的时间复杂度为 O(logn) —— 堆、二叉树等。
 
O(logn) ：对数时间复杂度，是一种极其高效的时间复杂度，有时甚至比时间复杂度是常量级 O(1) 的算法还要高效。
 
用大 O 标记法表示时间复杂度的时候，会省略掉常数、系数和低阶。对于常量级时间复杂度的算法来说，O(1) 有可能表示的是一个非常大的常量值，比如 O(1000)、O(10000)。所以常量级时间复杂度的算法有时候可能还没有 O(logn) 的算法执行效率高。
 
指数时间复杂度的算法在大规模数据面前是无效的。

二分查找的递归与非递归实现

如何来写 简单的二分查找 。最简单的情况就是有序数组中不存在重复元素，在其中用二分查找值等于给定值的数据。

// 非递归解法：循环实现
class Solution {public int search(int[] nums, int target) {int left = 0;int right = nums.length - 1;while(left <= right){// 防止数据溢出int mid = left + (right - left) / 2;// 存在返回下标if(nums[mid] == target){return mid;}if(target < nums[mid]){right = mid - 1;}else{left = mid + 1;}}// 如果不存在返回-1return -1;}
}

​ left、rigth、mid 都是指数组下标，其中 left 和 right 表示当前查找的区间范围，初始 left = 0， right = n-1，mid 表示[left, right]的中间位置。通过对比 nums[mid]与 target 的大小，来更新接下来要查找的区间范围，直到找到或者区间缩小为 0，就退出。需要注意的三个点如下：

• 循环退出条件： low<=high，而不是 low<high。
• mid 的取值：实际上，mid = (low+high)/2 这种写法是有问题的。**如果 low 和 high 比较大的话，两者之和就有可能会溢出。**改进的方法是 mid = low+(high-low)/2。如果要将性能优化到极致的话，可以将这里的除以 2 操作转化成位运算 low+((high-low)>>1)，相比除法运算来说，计算机处理位运算要快得多。
• low 和 high 的更新：low=mid+1，high=mid-1。注意这里的 +1 和 -1，如果直接写成 low=mid 或者 high=mid，就可能会发生死循环。比如，当 high=3，low=3 时，如果 a[3]不等于 value，就会导致一直循环不退出。

// 递归实现
class Solution {public int search(int[] nums, int target) {return binarySearch(nums, 0, nums.length - 1, target);}public int binarySearch(int[] nums, int left, int right, int target){// 递归退出条件if(left > right){return -1;}// 进行递归判断int mid = left + ((right - left)>>1);if(nums[mid] == target){return mid;}else if(nums[mid] > target){return binarySearch(nums, left, mid - 1, target);}else{return binarySearch(nums, mid + 1, right, target);}}
}

二分查找应用场景的局限性

二分查找的时间复杂度是 O(logn)，查找数据的效率非常高。

并不是什么情况下都可以用二分查找，它的应用场景有很大局限性。

• 二分查找依赖的是顺序表结构（数组）。二分查找能否依赖其他数据结构呢？比如链表。答案是不可以的，主要原因是二分查找算法需要按照下标随机访问元素。数组按照下标随机访问数据的时间复杂度是 O(1)，而链表随机访问的时间复杂度是 O(n)。如果数据使用链表存储，二分查找的时间复杂就会变得很高。二分查找只能用在数据是通过顺序表来存储的数据结构上。如果数据是通过其他数据结构存储的，则无法应用二分查找。
• 二分查找针对的是有序数据。如果数据没有序，需要先排序。排序的时间复杂度最低是 O(nlogn)。如果针对的是一组静态的数据，没有频繁地插入、删除，可以进行一次排序，多次二分查找，这样排序的成本可被均摊，二分查找的边际成本就会比较低。如果数据集合有频繁的插入和删除操作，要想用二分查找，要么每次插入、删除操作之后保证数据仍然有序，要么在每次二分查找之前都先进行排序。针对这种动态数据集合，无论哪种方法，维护有序的成本都是很高的。所以二分查找只能用在插入、删除操作不频繁，一次排序多次查找的场景中。针对动态变化的数据集合，二分查找将不再适用。
• 数据量太小不适合二分查找。 如果要处理的数据量很小，完全没有必要用二分查找，顺序遍历即可。只有数据量比较大的时候，二分查找的优势才会比较明显。**如果数据之间的比较操作非常耗时，不管数据量大小，推荐使用二分查找。**比如，数组中存储的都是长度超过 300 的字符串，如此长的两个字符串之间比对大小，就会非常耗时。我们需要尽可能地减少比较次数，而比较次数的减少会大大提高性能，这个时候二分查找就比顺序遍历更有优势。
• 数据量太大不适合二分查找。 二分查找的底层需要依赖数组，而数组为了支持随机访问的特性，要求内存空间连续，对内存的要求比较苛刻。比如，有 1GB 大小的数据，如果用数组来存储，就需要 1GB 的连续内存空间，即便有 2GB 的内存空间剩余，但如果这剩余的 2GB 内存空间都是零散的，没有连续的 1GB 大小的内存空间，那照样无法申请一个 1GB 大小的数组。而二分查找是作用在数组这种数据结构之上的，所以太大的数据用数组存储就比较吃力，也就不能用二分查找了。

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内容小结

• 一种针对有序数据的高效查找算法，二分查找，时间复杂度是 O(logn)。
• 二分查找的核心思想有点类似分治思想，每次都通过跟区间中的中间元素对比，将待查找的区间缩小为一半，直到找到要查找的元素，或者区间被缩小为 0。
• 二分查找的代码实现三个容易出错的地方：循环退出条件、mid 的取值，left 和 right 的更新。
• 二分查找虽然性能比较优秀，但应用场景也比较有限。底层必须依赖数组，并且还要求数据是有序的。对于较小规模的数据查找，直接使用顺序遍历就可以，二分查找的优势并不明显。二分查找更适合处理静态数据，也就是没有频繁的数据插入、删除操作。

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如何在 1000 万个整数中快速查找某个整数？—— 注意数据结构本身的空间占用

假设有 1000 万个整数数据，每个数据占 8 个字节，如何设计数据结构和算法，快速判断某个整数是否出现在这 1000 万数据中？ 希望这个功能不要占用太多的内存空间，最多不要超过 100MB，你会怎么做？

• 内存限制是 100MB，每个数据大小是 8 字节，最简单的办法就是将数据存储在数组中，内存占用差不多是 80MB，符合内存的限制。
• 先对这 1000 万数据从小到大排序，然后再利用二分查找算法，就可以快速地查找想要的数据。
• 大部分情况下，用二分查找可以解决的问题，用散列表、二叉树都可以解决。
• 不管是散列表还是二叉树，都会需要比较多的额外的内存空间。如果用散列表或者二叉树来存储这 1000 万的数据，用 100MB 的内存肯定是存不下的。而二分查找底层依赖的是数组，除了数据本身之外，不需要额外存储其他信息，是最省内存空间的存储方式，刚好能在限定的内存大小下解决这个问题。

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🎈思考

1、实现“求一个数的平方根”？要求精确到小数点后 6 位。

// 迭代法硬求解
package test;
import java.util.Scanner;
public class Test2 {public static void main(String[] args) {/*** 迭代法求a的平方根：temp=a/temp时，temp为其平方根，两者差小于10的负6次方，<1e-6，即为精确到小数点后六位temp  和 a/temp 分别位于a的平方根的两头，一个大于，一个小于，取两者的平均值进行迭代。 */Scanner sc = new Scanner(System.in);int a = sc.nextInt();float temp=1;while(Math.abs(temp-a/temp)>1e-6){	temp=(temp+a/temp)/2;}System.out.println(temp);}
}

2、如果数据使用链表存储，二分查找的时间复杂就会变得很高，那查找的时间复杂度究竟是多少？为何会选择用数组而不是链表来实现二分查找。

 前提链表中的数据已经排好序。假设链表长度为n，二分查找每次都要找到中间位置的数据（此处忽略奇偶数差异），记录每次三个标志位置的指针:

• 第一次查找中间点，需要移动指针n/2次；
• 第二次，需要移动指针n/4次；
• 第三次需要移动指针n/8次；
  ​ …
• 以此类推，一直到1次为至。

 数组查找中点只需要一次就可以搞定，链表需要移动 n 个元素，数组最后找到了中点，就执行了 k 次，k =logn 时间复杂度是 O(logn)，而链表找找到中点（快慢指针、记录长度直接判定）总共指针移动次数(查找次数) = n/2 + n/4 + n/8 + …+ 1，根据等比数列求和公式：Sn = n/2 + n/4 + n/8 + …+ n/n = n(1/2 + 1/4 + 1/8 + …+ 1/n)，令 2^k = n，求解可得 Sn = n(1-1/n) = n - 1，时间复杂度是：O(n-1)，忽略常数，记为O(n)。
 链表中需要进行冗余的查找操作，同时需要多余的空间指针作为辅助，相比下顺序查找会更加适合。