Nashpy包应用

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建立一个博弈并找出博弈的纳什均衡

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用例：石头剪刀布

1. 基本内容

这是一个典型的博弈过程，每个$player$都有三个选择（在博弈论中称之为$strategies$）:

• 石头
• 布
• 剪刀

胜利者的胜利条件为：

• 石头粉碎剪刀
• 布包住石头
• 剪刀剪切布

据此构建收益矩阵$A_{ij}$
$$A=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 1\\ 1& 0& -1\\ -1& 1& 0\end{array}\right)$$
矩阵A为控制行的玩家当他采取第 $i$ 行并且他们的对手（列玩家）玩第 $j$ 列时的效用。

2. 构建博弈

可以根据行玩家的效用矩阵来构建博弈：

import nashpy as nash
import numpy as np
A = np.array([[0,-1,1],[1,0,-1],[-1,1,0]])
rps = nash.Game(A)
rps

输出：

可知行玩家和列玩家之间为零和博弈，因此列玩家的效用矩阵应该与列玩家正好相反，此时也可以使用行玩家和列玩家的效用矩阵来一起构建博弈。

import nashpy as nash
import numpy as np
A = np.array([[0,-1,1],[1,0,-1],[-1,1,0]])
B = -A
rps = nash.Game(A,B)
rps

3. 计算一对策略的效用

将两个$player$定义为行玩家($r$)和列玩家($c$)

数学方法表示策略为一个固定长度的向量，长度为行为个数，例如:
${\mathbf{\sigma }}_r=(0,0,1)$表示$r$的策略为一直出剪刀；
${\mathbf{\sigma }}_c=(0,1,0)$表示$c$一直出布。

当双方策略固定后，使用线性代数表达式获得玩家的效用：
$$\{\begin{array}{l}{U}_r({\mathbf{\sigma }}_r)={\mathbf{\sigma }}_{r}A{\mathbf{\sigma }}_c^T\\ U_c({\mathbf{\sigma }}_c)={\mathbf{\sigma }}_{r}B{\mathbf{\sigma }}_c^T\end{array}$$
使用Nashpy计算收益：

sigma_r = [0,0,1]
sigma_c = [0,1,0]
rps[sigma_r,sigma_c]

上述假定策略固定，我们还可以使策略随机，此时效用对应的是长期平均值，这就是我们对策略和效用计算的表示变得特别有用的地方:

${\mathbf{\sigma }}_r=(1/2,1/2,0)$表示$r$以1/2概率出石头，1/2概率出布；
${\mathbf{\sigma }}_c=(0,1/2,1/2)$表示$c$以1/2概率出布，1/2概率出剪刀。

sigma_r = [1/2,1/2,1]
sigma_c = [0,1/2,1/2]
rps[sigma_r,sigma_c]

此时列玩家可能会在下一阶段偏离。

4. 计算纳什均衡

纳什均衡是一组策略，在这个策略下，双方玩家都不会有意图去改变策略，我们可以使用Nashpy来找纳什均衡：

eqs = rps.support_enumeration()
list(eqs)

5. Learning in game

在非合作博弈中，纳什均衡并不是容易观测到的。纳什均衡对应于没有玩家有改变策略的动机，但这并不一定意味着玩家可以自然地达到平衡状态。

import numpy as np
iterations = 100
np.random.seed(0)
play_counts = rps.fictitious_play(iterations=iterations)
for row_play_count,colum_play_count in play_counts:print(row_play_count,colum_play_count)

随着时间的推移，我们可以看到行为的出现，可以将游戏计数***归一化以给出策略向量***。 注意，这些并不总是收敛。