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前言

开始学习逻辑回归！！！！

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一、逻辑回归——一个叫“回归”的分类器

回归树，随机森林的回归，无一例外他们都是区别于分类算法们，用来处理和预测连续型标签的算法。然而逻辑回归，是一种名为“回归”的线性分类器，其本质是由线性回归变化而来的，一种广泛使用于分类问题中的广义回归算法。

要理解逻辑回归从何而来，得要先理解线性回归。线性回归是机器学习中最简单的的回归算法，他的方程是：
$$z={\theta }_0+{\theta }_1{x}_1+{\theta }_2{x}_2+\dots +{\theta }_n{x}_n$$

• $\theta$: 统称为模型的参数
• ${\theta }_0$: 截距(intercept)
• ${\theta }_1-{\theta }_n$: 系数(coefficient)

我们可以使用矩阵来表示这个方程，其中x和$\theta$都可以被看做是一个列矩阵，则有：
$$z=[{\theta }_0,{\theta }_1,{\theta }_2\dots {\theta }_n]\ast \left[\begin{array}{c}{x}_0\\ x_1\\ x_2\\ \dots \\ x_n\end{array}\right]={\theta }^{T}x(x_0=1)$$

线性回归的任务，就是构造一个预测函数 来映射输入的特征矩阵x和标签值y的线性关系，而构造预测函数的核心就是找出模型的参数： ${\theta }^T$和${\theta }_0$ ，著名的最小二乘法就是用来求解线性回归中参数的数学方法。

通过函数 ，线性回归使用输入的特征矩阵X来输出一组连续型的标签值y_pred，以完成各种预测连续型变量的任务（比如预测产品销量，预测股价等等）

如果我们的标签是离散型变量，尤其是，如果是满足0-1分布的离散型变量，可以通过引入联系函数(link function)，将线性回归方程z变换为g(z)，并且令g(z)的值分布在(0,1)之间，且当g(z)接近0时样本的标签为类别0，当g(z)接近1时样本的标签为类别1，这样就得到了一个分类模型。而这个联系函数对于逻辑回归来说，就是Sigmoid函数：
$$g(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}$$

Sigmoid函数的公式和性质

• Sigmoid函数是一个S型的函数，当自变量z趋近正无穷时，因变量g(z)趋近于1，而当z趋近负无穷时，g(z)趋近于0，它能够将任何实数映射到(0,1)区间，使其可用于将任意值函数转换为更适合二分类的函数。因为这个性质，Sigmoid函数也被当作是归一化的一种方法，与我们之前学过的MinMaxSclaer同理，是属于数据预处理中的**“缩放”功能**，可以将数据压缩到[0,1]之内。区别在于，MinMaxScaler归一化之后，是可以取到0和1的（最大值归一化后就是1，最小值归一化后就是0），但Sigmoid函数只是无限趋近于0和1。

线性回归中$z={\theta }^{T}x$，于是我们将 带入，就得到了二元逻辑回归模型的一般形式：
$$g(z)=y(x)=\frac{1}{1+e^{-{\theta }^{T}x}}$$

$y(x)$就是逻辑回归返回的标签值，$y(x)$的取值在[0,1]之间，因此$y(x)$和$1-y(x)$相加之和为1，如果令$y(x)$除以$1-y(x)$可以得到形似几率（odds）$\frac{y(x)}{1-y(x)}$，在此基础取对数，可以得到：
$$\begin{array}{rl}ln\frac{y(x)}{1-y(x)}& =ln(\frac{\frac{1}{1+e^{-{\theta }^{T}x}}}{1-\frac{1}{1+e^{-{\theta }^{T}x}}})\\ & =ln(\frac{\frac{1}{1+e^{-{\theta }^{T}x}}}{\frac{e^{-{\theta }^{T}x}}{1+e^{-{\theta }^{T}x}}})\\ & =ln(\frac{1}{e^{-{\theta }^{T}x}})\\ & =ln(e^{{\theta }^{T}x})\\ & ={\theta }^{T}x\end{array}$$

y(x)的形似几率取对数的本质其实就是我们的线性回归z，我们实际上是在对线性回归模型的预测结果取
对数几率来让其的结果无限逼近0和1。因此，其对应的模型被称为对数几率回归****（logisticRegression），也就是我们的逻辑回归，这个名为“回归”却是用来做分类工作的分类器

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二、为什么需要逻辑回归

线性回归对数据的要求很严格，比如标签必须满足正态分布，特征之间的多重共线性需要消除等等，而现实中很多真实情景的数据无法满足这些要求，因此线性回归在很多现实情境的应用效果有限。逻辑回归是由线性回归变化而来，因此它对数据也有一些要求，而我们之前已经学过了强大的分类模型决策树和随机森林，它们的分类效力很强，并且不需要对数据做任何预处理。

何况，逻辑回归的原理其实并不简单。一个人要理解逻辑回归，必须要有一定的数学基础，必须理解损失函数，正则化，梯度下降，海森矩阵等等这些复杂的概念，才能够对逻辑回归进行调优。其涉及到的数学理念，不比支持向量机少多少。况且，要计算概率，朴素贝叶斯可以计算出真正意义上的概率，要进行分类，机器学习中能够完成二分类功能的模型简直多如牛毛。因此，在数据挖掘，人工智能所涉及到的医疗，教育，人脸识别，语音识别这些领域，逻辑回归没有太多的出场机会。

无论机器学习领域如何折腾，逻辑回归依然是一个受工业商业热爱，使用广泛的模型，因为它有着不可替代的优点：

• 逻辑回归对线性关系的拟合效果非常非常非常好：
  特征与标签之间的线性关系极强的数据，比如金融领域中的信用卡欺诈，评分卡制作，电商中的营销预测等等相关的数据，都是逻辑回归的强项。虽然现在有了梯度提升树GDBT，比逻辑回归效果更好，也被许多数据咨询公司启用，但逻辑回归在金融领域，尤其是银行业中的统治地位依然不可动摇（相对的，逻辑回归在非线性数据的效果很多时候比瞎猜还不如，所以如果你已经知道数据之间的联系是非线性的，千万不要迷信逻辑回归）

• 逻辑回归计算快：
  对于线性数据，逻辑回归的拟合和计算都非常快，计算效率优于SVM和随机森林，在大型数据上尤其能够看得出区别

• 逻辑回归返回的分类结果不是固定的0，1，而是以小数形式呈现的类概率数字：
  我们因此可以把逻辑回归返回的结果当成连续型数据来利用。比如在评分卡制作时，我们不仅需要判断客户是否会违约，还需要给出确定的”信用分“，而这个信用分的计算就需要使用类概率计算出的对数几率，而决策树和随机森林这样的分类器，可以产出分类结果，却无法帮助我们计算分数（当然，在sklearn中，决策树也可以产生概率，使用接口predict_proba调用就好，但一般来说，正常的决策树没有这个功能）

逻辑回归还有抗噪能力强的优点。福布斯杂志在讨论逻辑回归的优点时，甚至有着“技术上来说，最佳模型的AUC面积低于0.8时，逻辑回归非常明显优于树模型”的说法。并且，逻辑回归在小数据集上表现更好，在大型的数据集上，树模型有着更好的表现。

逻辑回归的本质，它是一个返回对数几率的，在线性数据上表现优异的分类器，它主要被应用在金融领域。其数学目的是求解能够让模型对数据拟合程度最高的参数 $y(x)$的值，以此构建预测函数 ，然后将特征矩阵输入预测函数来计算出逻辑回归的结果y。注意，虽然我们熟悉的逻辑回归通常被用于处理二分类问题，但逻辑回归也可以做多分类。

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三、sklearn中的逻辑回归

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