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  • ALGO-2最大最小公倍数

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    问题描述

    已知一个正整数N，问从1~N中任选出三个数，他们的最小公倍数最大可以为多少。

    输入格式

    输入一个正整数N。

    输出格式

    输出一个整数，表示你找到的最小公倍数。

    样例输入

    9

    样例输出

    504

    数据规模与约定

    1 <= N <= 106。

  • 前提知识：

    • 1. 最小公倍数

      • k个数字的最小公倍数不会超过k个数字相乘

    • 2. 互质

      • 什么是互质？

        • 两个数的公约数只有一，这样的数叫互质数。两两互质，就是几个数的公约数只有一
      • 互质的性质
        • 如果几个数两两互质，那么他们的最小公倍数是他们的乘积。
      • 互质的判别
        • ① 相邻的两个自然数是互质数。如 15与 16
        • ② 相邻的两个奇数是互质数。如 49与 51

    • 3. 整除

      • a 整除 b，是指 b÷a 的商没有余

  • 逻辑：

    • 找到1~N内三数相乘的最大最小公倍数，首先要知道任意 k 个数的最小公倍数不会超过这 k 个数相乘。如果我们想要找到最大的最小公倍数，这三个数应该满足

      • ①1~N内尽可能靠近N

      • ②它们的最小公倍数是它们相乘（即互质）

    • 问题转为：如何找到在 1~N 内最大的互质的三个数？

    • 我们由数学知识可知：
      • Ⅰ）相邻的自然数互质
      • Ⅱ）相邻的奇数互质

    • 既然要靠近N，那么我们直接先假设 N 为其中的一个数，然后接着判断 N-1、N-2 ... ：

    • 当 N 是奇数时：

      • N、N-1、N-2为 奇-偶-奇 的组合，由之前的数学知识 Ⅰ、Ⅱ 很容易知道这样的组合一定是互质的，所以最大最小公倍数就是 N*(N-1)*(N-2)

    • 当 N 是偶数时：

      • 1. N、N-1、N-2中，N和N-2一定有公约数2，不互质，不行。我们考虑用 N-3 去替代其中的一个数字，为了使这三个数相乘最大，我们先尝试用 N-3 代替最小的 N-2（贪心）
        • 现在考虑的数字变为 N、N-1、N-3。
          • 如果 3 不整除 N 的话，N、N-1、N-3 是 偶-奇-奇组合，这里只要 偶和奇 互质，它们就全部互质了。故答案为 N*(N-1)*(N-3)
          • 但如果 3 能整除 N 的话，那么 3 同样能整除 N，这样 N 和 N-3 一定有公约数 3 就不互质了，不行。
            • 同理，如果我们尝试用 N-4、N-5 .... 去代替 N-1 ，你会发现它们又可能有公约数 4、5...，比之前用 N-3 去替代的结果还差（数字更小，公约数还更大，公倍数当然越小啦）。
          • 2. 所以这时候我们要考虑用 N-3 去替代之前 N、N-1、N-2 中的别的数字。现考虑用 N-3 代替 N-1（贪心）
            • 现在我们考虑的数字变为 N、N-2、N-3，此时 3 是能整除 N 的， 3也是能整除 N-3 的 ，所以肯定是不行滴。
          • 3. 最终我们考虑用 N-3 去替代 N
            • 现在我们考虑的数字变为 N-1、N-2、N-3，为 奇-偶-奇 的组合，是互质的，所以我们最终的答案为 (N-1)*(N-2)*(N-3)

Python代码如下

N = int(input())if(N%2==0): #是偶数if(N%3==0): #能被3整除print((N-1)*(N-2)*(N-3))else:  #不能被3整除，贪心print(N*(N-1)*(N-3))
else:print(N*(N-1)*(N-2))