计算几何:凸包
文章目录
- 叉积
- 二维凸包问题解法
- 1.暴力法
- 2.Graham扫描法
- 3. 分治法(Divide and Conquer)
- 4. Jarvis步进法(Jarvis March)
- 5. Melkman算法
- 6.增量算法(Incremental Method)
- 7.快速凸包算法(Quick Hull)
- 8.单调链算法(Monotone Chain)
- 9.Kirkpatrick–Seidel算法
- 10.chan算法
- 三维凸包问题解法
- 1.礼物包裹算法
- 2.增量算法
- 3.快速凸包算法
- 4.分而治之算法
- 更高维度的凸包问题研究
研究起因:师兄需要融合凸包算法,本着好奇的态度,开始学习凸包的计算求解及相关应用。
叉积
先来了解叉积,很重要。
叉积应用:
求任意N边形面积:
这种定性的描述,在之后计算几何杂乱的算法中会频繁出现,包括判断线段是否相交、极角排序、凸包问题等等,因此这里一定要理解透彻。
二维凸包问题解法
应用:二维凸包可以用来解决围栏问题、城市规划问题、聚类分析(机器学习中的KMEANS聚类:就是将相似的类用凸包圈在一起)等等。
1.暴力法
将所有点两两对应,然后将剩下的(n - 2)个点 一一枚举判断是否在同一侧,如果都在同一侧即这两个点是凸包上的点。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 7;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
struct Point{double x,y;bool ok;
}a[N];
int n;
stack<Point> s;
queue<Point> q;
int cross_product(Point a,Point b,Point c)
{if(a.x * b.y + a.y * c.x + b.x * c.y - c.x * b.y - b.x * a.y - a.x * c.y > 0) return 1;else if(a.x * b.y + a.y * c.x + b.x * c.y - c.x * b.y - b.x * a.y - a.x * c.y == 0) return 0;return -1;
}
void convex_hull()
{for(int i = 0;i < n;++i)for(int j = i + 1;j < n;++j){bool flag = true;int left = 0,right = 0;for(int k = 0;k < n;++k){if(k == i || k == j) ;else{if(cross_product(a[i],a[j],a[k]) == 1) left++;else if(cross_product(a[i],a[j],a[k]) == -1) right++;if(left && right) {flag = false;break;}}}if(flag) a[i].ok = a[j].ok = true;}
}
int main()
{ios::sync_with_stdio(false);cin >> n;for(int i = 0;i < n;++i){cin >> a[i].x >> a[i].y;a[i].ok = false;}convex_hull();for(int i = 0;i < n;++i)if(a[i].ok) cout << a[i].x << ' ' << a[i].y << endl;return 0;
}
2.Graham扫描法
先了解下极角排序:
极角
![在这里插入图片描述](https://img-blog.csdnimg.cn/5d6e8746d8f44654b651d1d1ede2a043.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s,shadow_50,text_Q1NETiBA4oitPQ==,size_20,color_FFFFFF,t_70,g_se,x_16极角排序
1. 利用atan2函数
atan2(y,x),表示(x,y)这个点与原点连线,这条线与x轴正半轴的夹角,这里的这个极角的范围是[−π,π]的,一二象限为正,三四象限为负。所以我们从小到大排完序后,实际上是第三象限→第四象限→第一象限→第二象限。
//写法一
bool cmp(Point a, Point b) {if(dcmp(atan2(a.y, a.x) - atan2(b.y, b.x)) == 0) //dcmp为判断浮点数是否为0的函数return a.x < b.x;return atan2(a.y, a.x) < atan2(b.y, b.x);
}
//写法二
struct node{int x,y;double angle;inline bool operator < (const node &t) const{return angle<t.angle;}
}
for (int i=1;i<=n;i++){read(a[i].x),read(a[i].y);a[i].angle=atan2(a[i].y,a[i].x);
}
sort(a+1,a+n+1,cmp);
2.利用向量叉乘排序
已知两点坐标,通过叉积可以求得与原点所围成的三角形的有向面积。
比如这两个点为a,b.
1/2∗(a.x∗b.y−a.y∗b.x)即为该三角形面积,那么为什么说是有向面积呢,如果这个值是正的,说明b位于a的正方向,即逆时针方向(当然,这个角度小于π),反之,如果这个面积是负的,说明b位于a的负方向,即顺时针方向。
那么我们就可以通过叉积来求极角了。
struct node{int x,y;double angle;inline int operator * (const node &t) const{return a.x*b.y-a.y*b.x;}
}
inline bool cmp(node a,node b){return a*b>0;
}
for (int i=1;i<=n;i++){read(a[i].x),read(a[i].y);
}
sort(a+1,a+n+1,cmp);
思路:Graham扫描的思想是先找到凸包上的一个点,然后从那个点开始按逆时针方向逐个找凸包上的点,实际上就是进行极角排序,然后对其查询使用。
时间复杂度:O(nlogn)
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define PI 3.1415926535
using namespace std;
struct node
{int x,y;
};
node vex[1000];//存入的所有的点
node stackk[1000];//凸包中所有的点
int xx,yy;
bool cmp1(node a,node b)//排序找第一个点
{if(a.y==b.y)return a.x<b.x;elsereturn a.y<b.y;
}
int cross(node a,node b,node c)//计算叉积
{return (b.x-a.x)*(c.y-a.y)-(c.x-a.x)*(b.y-a.y);
}
double dis(node a,node b)//计算距离
{return sqrt((a.x-b.x)*(a.x-b.x)*1.0+(a.y-b.y)*(a.y-b.y));
}
bool cmp2(node a,node b)//极角排序另一种方法,速度快
{if(atan2(a.y-yy,a.x-xx)!=atan2(b.y-yy,b.x-xx))return (atan2(a.y-yy,a.x-xx))<(atan2(b.y-yy,b.x-xx));return a.x<b.x;
}
bool cmp(node a,node b)//极角排序
{int m=cross(vex[0],a,b);if(m>0)return 1;else if(m==0&&dis(vex[0],a)-dis(vex[0],b)<=0)return 1;else return 0;/*if(m==0)return dis(vex[0],a)-dis(vex[0],b)<=0?true:false;elsereturn m>0?true:false;*/
}
int main()
{int t,L;while(~scanf("%d",&t),t){int i;for(i=0; i<t; i++){scanf("%d%d",&vex[i].x,&vex[i].y);}if(t==1)printf("%.2f\n",0.00);else if(t==2)printf("%.2f\n",dis(vex[0],vex[1]));else{memset(stackk,0,sizeof(stackk));sort(vex,vex+t,cmp1);stackk[0]=vex[0];xx=stackk[0].x;yy=stackk[0].y;sort(vex+1,vex+t,cmp2);//cmp2是更快的,cmp更容易理解stackk[1]=vex[1];//将凸包中的第两个点存入凸包的结构体中int top=1;//最后凸包中拥有点的个数for(i=2; i<t; i++){while(i>=1&&cross(stackk[top-1],stackk[top],vex[i])<0) //对使用极角排序的i>=1有时可以不用,但加上总是好的top--;stackk[++top]=vex[i]; //控制<0或<=0可以控制重点,共线的,具体视题目而定。}double s=0;//for(i=1; i<=top; i++)//输出凸包上的点//cout<<stackk[i].x<<" "<<stackk[i].y<<endl;for(i=1; i<=top; i++) //计算凸包的周长s+=dis(stackk[i-1],stackk[i]);s+=dis(stackk[top],vex[0]);//最后一个点和第一个点之间的距离/*s+=2*PI*L;int ans=s+0.5;//四舍五入printf("%d\n",ans);*/printf("%.2lf\n",s);}}
}
3. 分治法(Divide and Conquer)
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2024/4/30 9:42:49 - 配置失败还原请勿关闭计算机,电脑开机屏幕上面显示,配置失败还原更改 请勿关闭计算机 开不了机 这个问题怎么办...
解析如下:1、长按电脑电源键直至关机,然后再按一次电源健重启电脑,按F8健进入安全模式2、安全模式下进入Windows系统桌面后,按住“winR”打开运行窗口,输入“services.msc”打开服务设置3、在服务界面,选中…...
2022/11/19 21:17:18 - 错误使用 reshape要执行 RESHAPE,请勿更改元素数目。
%读入6幅图像(每一幅图像的大小是564*564) f1 imread(WashingtonDC_Band1_564.tif); subplot(3,2,1),imshow(f1); f2 imread(WashingtonDC_Band2_564.tif); subplot(3,2,2),imshow(f2); f3 imread(WashingtonDC_Band3_564.tif); subplot(3,2,3),imsho…...
2022/11/19 21:17:16 - 配置 已完成 请勿关闭计算机,win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机...
win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机”问题的解决方法在win7系统关机时如果有升级系统的或者其他需要会直接进入一个 等待界面,在等待界面中我们需要等待操作结束才能关机,虽然这比较麻烦,但是对系统进行配置和升级…...
2022/11/19 21:17:15 - 台式电脑显示配置100%请勿关闭计算机,“准备配置windows 请勿关闭计算机”的解决方法...
有不少用户在重装Win7系统或更新系统后会遇到“准备配置windows,请勿关闭计算机”的提示,要过很久才能进入系统,有的用户甚至几个小时也无法进入,下面就教大家这个问题的解决方法。第一种方法:我们首先在左下角的“开始…...
2022/11/19 21:17:14 - win7 正在配置 请勿关闭计算机,怎么办Win7开机显示正在配置Windows Update请勿关机...
置信有很多用户都跟小编一样遇到过这样的问题,电脑时发现开机屏幕显现“正在配置Windows Update,请勿关机”(如下图所示),而且还需求等大约5分钟才干进入系统。这是怎样回事呢?一切都是正常操作的,为什么开时机呈现“正…...
2022/11/19 21:17:13 - 准备配置windows 请勿关闭计算机 蓝屏,Win7开机总是出现提示“配置Windows请勿关机”...
Win7系统开机启动时总是出现“配置Windows请勿关机”的提示,没过几秒后电脑自动重启,每次开机都这样无法进入系统,此时碰到这种现象的用户就可以使用以下5种方法解决问题。方法一:开机按下F8,在出现的Windows高级启动选…...
2022/11/19 21:17:12 - 准备windows请勿关闭计算机要多久,windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机怎么办...
有不少windows10系统用户反映说碰到这样一个情况,就是电脑提示正在准备windows请勿关闭计算机,碰到这样的问题该怎么解决呢,现在小编就给大家分享一下windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机的具体第一种方法:1、2、依次…...
2022/11/19 21:17:11 - 配置 已完成 请勿关闭计算机,win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机”的解决方法...
今天和大家分享一下win7系统重装了Win7旗舰版系统后,每次关机的时候桌面上都会显示一个“配置Windows Update的界面,提示请勿关闭计算机”,每次停留好几分钟才能正常关机,导致什么情况引起的呢?出现配置Windows Update…...
2022/11/19 21:17:10 - 电脑桌面一直是清理请关闭计算机,windows7一直卡在清理 请勿关闭计算机-win7清理请勿关机,win7配置更新35%不动...
只能是等着,别无他法。说是卡着如果你看硬盘灯应该在读写。如果从 Win 10 无法正常回滚,只能是考虑备份数据后重装系统了。解决来方案一:管理员运行cmd:net stop WuAuServcd %windir%ren SoftwareDistribution SDoldnet start WuA…...
2022/11/19 21:17:09 - 计算机配置更新不起,电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?
原标题:电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?win7系统中在开机与关闭的时候总是显示“配置windows update请勿关闭计算机”相信有不少朋友都曾遇到过一次两次还能忍但经常遇到就叫人感到心烦了遇到这种问题怎么办呢?一般的方…...
2022/11/19 21:17:08 - 计算机正在配置无法关机,关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机...
关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!关机提示 windows7 正在配…...
2022/11/19 21:17:05 - 钉钉提示请勿通过开发者调试模式_钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用...
钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用 更新时间:2020-04-20 22:24:19 浏览次数:729次 区域: 南阳 > 卧龙 列举网提醒您:为保障您的权益,请不要提前支付任何费用! 虚拟位置外设器!!轨迹模拟&虚拟位置外设神器 专业用于:钉钉,外勤365,红圈通,企业微信和…...
2022/11/19 21:17:05 - 配置失败还原请勿关闭计算机怎么办,win7系统出现“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”,长时间没反应,无法进入系统的解决方案...
前几天班里有位学生电脑(windows 7系统)出问题了,具体表现是开机时一直停留在“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”这个界面,长时间没反应,无法进入系统。这个问题原来帮其他同学也解决过,网上搜了不少资料&#x…...
2022/11/19 21:17:04 - 一个电脑无法关闭计算机你应该怎么办,电脑显示“清理请勿关闭计算机”怎么办?...
本文为你提供了3个有效解决电脑显示“清理请勿关闭计算机”问题的方法,并在最后教给你1种保护系统安全的好方法,一起来看看!电脑出现“清理请勿关闭计算机”在Windows 7(SP1)和Windows Server 2008 R2 SP1中,添加了1个新功能在“磁…...
2022/11/19 21:17:03 - 请勿关闭计算机还原更改要多久,电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机怎么办...
许多用户在长期不使用电脑的时候,开启电脑发现电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机。。.这要怎么办呢?下面小编就带着大家一起看看吧!如果能够正常进入系统,建议您暂时移…...
2022/11/19 21:17:02 - 还原更改请勿关闭计算机 要多久,配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以...
配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机&#x…...
2022/11/19 21:17:01 - 电脑配置中请勿关闭计算机怎么办,准备配置windows请勿关闭计算机一直显示怎么办【图解】...
不知道大家有没有遇到过这样的一个问题,就是我们的win7系统在关机的时候,总是喜欢显示“准备配置windows,请勿关机”这样的一个页面,没有什么大碍,但是如果一直等着的话就要两个小时甚至更久都关不了机,非常…...
2022/11/19 21:17:00 - 正在准备配置请勿关闭计算机,正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了解决教程...
当电脑出现正在准备配置windows请勿关闭计算机时,一般是您正对windows进行升级,但是这个要是长时间没有反应,我们不能再傻等下去了。可能是电脑出了别的问题了,来看看教程的说法。正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了方法一…...
2022/11/19 21:16:59 - 配置失败还原请勿关闭计算机,配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机...
我们使用电脑的过程中有时会遇到这种情况,当我们打开电脑之后,发现一直停留在一个界面:“配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机”,等了许久还是无法进入系统。如果我们遇到此类问题应该如何解决呢࿰…...
2022/11/19 21:16:58 - 如何在iPhone上关闭“请勿打扰”
Apple’s “Do Not Disturb While Driving” is a potentially lifesaving iPhone feature, but it doesn’t always turn on automatically at the appropriate time. For example, you might be a passenger in a moving car, but your iPhone may think you’re the one dri…...
2022/11/19 21:16:57