问题引入：

在学习卡特兰数的时候，两个经典的例子分别是括号匹配和栈混洗。它们都用到了一个相同的递推公式：

f(n) = ∑ f(k-1) * f(n-k) k = 1, 2, 3…, n

这个式子乍看很合理，但是仔细想来又觉得可能会有重复的情形。

本文将分析这个递推式的含义。

递推公式：

f(n) = ∑ f(k-1) * f(n-k) k = 1, 2, 3…, n

栈混洗问题：

这个公式的意义是，对**第一个入栈元素的出栈时机（即第一次栈为空的时机）**进行分类讨论：

比如对于1, 2, 3, 4… 进行操作序列push push pop pop …

栈的变化为

[1 ) 
[1, 2) 
[1 )
[)

此时k = 2， 它对应两次pop之后栈为空的情况。

可以看出，前k-1个元素出栈的顺序跟后n-k个元素出栈顺序无关

所以对于任意k，其所对应的总出栈情况为f(k-1)*f(n-k)

那么在1出栈之前，栈始终是非空的。所以并不可能在前k-1次pop之后，栈变空，并使重复的情况出现。

括号匹配问题：

这里分类的依据是第一个左括号对应右括号的位置

其余分析与栈混洗类似，不再赘述