教材信息： 数值分析(第二版) 李红 华中科技大学出版社

[a,b]区间上的3点高斯-拉格朗日（Gauss-Legendre）复化求积公式

$${\int }_a^{b}f(x)dx\approx \frac{h}{9}\sum _{k=0}^{2n-2}\{5[f(x_{k+1}-h\sqrt{\frac{5}{3}})+f(x_{k+1}+h\sqrt{\frac{5}{3}})]+8f(x_{k+1})\}$$
与原书不同的地方使用红色标出：
在累加区间和节点下标进行了调整

$X_{k+2}$推导

$x_k=a+kh$
$x_{k+2}=a+kh+2h$
$\frac{x_k+x_{k+2}}{2}=\frac{2a+2kh+2h}{2}=a+kh+h=x_{k+1}$

说明

此复化求积公式就是对上式(见书)$[x_k,x_{k+2}]$区间上三点Gauss-Legendre(以下简称G-L)的累加，只是进行了一些形式上的简单变形。

QA

为什么复化高斯-拉格朗日(Gauss-Legendre)求积公式不需要像牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)公式一样对部分节点乘以倍数

形式上：
因为G-L公式不存在求积节点共用，而Newton-Cotes公式(以下简称N-C)存在节点共用

思想上：
N-C公式是从几何意义上直观的逼近积分，如脱胎于梯形面积公式的梯形公式（p88 4.1），在梯形面积公式上又叠了一层中点三角型面积的辛普森公式（p89 4.3），这些面积公式共同的特点就是会用到端点函数值，出于简化算式形式的考虑，就将这些重复运算的端点折叠成了公式中某些节点前乘以的倍数。
如复化梯形公式中的2（p97 4.18），复化辛普森公式中的4、2(p98 4.21)

G-L公式是从代数层面上逼近积分。复化G-L公式选取每段区间内拉格朗日正交多项式的零点作为Gauss点，该零点不位于区间端点，因此不存在求积节点共用。但这也导致了更大的计算量。
如12段3点复化G-L公式要计算12*3=36个节点
而12段3点复化simpson公式要计算36-11=25个节点

为什么在节点数一定时高斯-拉格朗日(Gauss-Legendre)求积公式具有最高的代数精度

G-L公式在以代数精度为优化目标的前提下，同时将**节点位置、节点权重（求积系数）**纳入考量，因此能够达到一定求积节点个数（n+1）下，最高的代数精度（2n+1）