1.树的基本概念

1.1树的概念：

树是一种非线性的数据结构它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。
1.有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点
2.除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、…、Tm，其中每 一个集合 Ti (1 <= i <= m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
3.树是递归定义的。
注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

1.2树的相关概念

1.结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度； 如上图：A的度为6
2.树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度； 如上图：树的度为6叶子结点或
3.终端结点：度为0的结点称为叶结点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶结点双亲结点
4.父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点； 如上图：A是B的父结点
5.孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点； 如上图：B是 A的孩子结点
6.根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A
7.结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推
8.树的高度或深度：树中结点的最大层次； 如上图：树的高度为4
9.非终端结点或分支结点：度不为0的结点； 如上图：D、E、F、G…等节点为分支结点
10.兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点； 如上图：B、C是兄弟结点
11.堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟结点
12.结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先
13.子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是 A的子孙
14.森林：由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林

1.3树的表示形式

1.双亲表示法：节点既要存储值域，还必须要表示其双亲的位置。
优点：快速知道一个结点是双亲
缺点：无法快速知道一个结点的孩子

2.孩子表示法： 结点既要存储值域，还要表示与其孩子结点之间的关系
优点：快速知道一个节点的孩子
缺点: 无法快速知道该结点的双亲

3.孩子双亲表示法： 孩子表示法和双亲表示法的结合
4.孩子兄弟表示法

class Node{int value; //树中存储的数据Node firstChild; //第一个孩子的引用Node nextbrother;  //下一个兄弟引用}

注意：树中的元素都保存在节点中------->结点（所有存储的值域节点和节点之间的关系）

1.5树的应用

文件系统管理（目录和文件）
下图：

2.二叉树的概念以及特性

2.1 二叉树的概念

1.空树
2.根节点+左子树+右子树
注意：
1.二叉树不存在度大于2 的结点
2.二叉树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成

• 空树
• 只有根节点
• 只有左子树
• 只有右子树
• 左右子树均存在

2.2两种特殊的二叉树

1.满二叉树：每层的结点都到达最大值；如果一棵二叉树的层数为k，且总结点数是2^k-1

2.完全二叉树： 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树总共由h层，h-1层被排满，贼为完全二叉树

满二叉树是特殊的完全二叉树，完全二叉树不一定是满二叉树

2.3二叉树的性质

1. 若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 (i>0)个结点

2. 若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是 (k>=0)

3. 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1 在任意二叉树中，度为0 的结点比度为2的结点多一个

4. 具有n个结点的完全二叉树的深度k为 上取整

5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点
   若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点
   若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子
   若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子

6.在二叉树中，如果有N个结点，总共就有N-1条边

2.4二叉树的存储

二叉树的存储结构分为：顺序存储（完全二叉树）和类似于链表的链式存储（任意二叉树）。
二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式

// 孩子表示法
class Node {int val; // 数据域Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
}
// 孩子双亲表示法
class Node {int val; // 数据域Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树Node parent; // 当前节点的根节点
}

==为什么完全二叉树适合顺序结构？？？

二叉树的顺序存储结构是指用一组地址连续的存储单元依次自上而下、自左至右存储完全二叉树上的结点元素，即将完全二叉树上编号为 i 的结点元素存储在一维数组下标为 i-1 的分量中。

依据二叉树的性质，完全二叉树和满二叉树采用顺序存储比较合适，树中结点的序号可以唯一地反映结点之间的逻辑关系，这样既能最大地节省存储了空间，又能利用数组元素的下标值确定结点在二叉树中的位置，以及结点之间的关系。

从数据存储来看，数组存储方式和树的存储方式可以相互转换，即数组可以转换成树，树可以转换成数组。

2.5二叉树的基本操作

二叉树的遍历

2.5.1前序遍历

根节点—左子树-----右子树

// 前序遍历 - 操作：指的是对节点中的值域进行打印if(treeRoot != null){System.out.print(treeRoot.data + " ");preOrder(treeRoot.left);preOrder(treeRoot.right);}}

2.5.2 中序遍历

左子树—根节点----右子树

  private void inOrder(BTNode  treeRoot){if(treeRoot != null){inOrder(treeRoot.left);System.out.print(treeRoot.data + " ");inOrder(treeRoot.right);}}

2.5.3 后序遍历

左子树----根节点—右子树

    private void postOrder(BTNode treeRoot){if(treeRoot != null){postOrder(treeRoot.left);postOrder(treeRoot.right);System.out.print(treeRoot.data + " ");}}

2.5.4 层序遍历

层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。

1.先需要new一个队列，将来队列中放置的元素是结点的引用
2.将root入队列
3.如果队列不为空，循环送入以下操作：
（1）获取队头元素—poll
（2）遍历该节点
（3）检测该节点是否有左孩子，有则让左孩子入队列
（4）检测该节点是否有右孩子，有则让右孩子入队列

// 二叉树不为空-----需要借助队列完成二叉树的层序遍历Queue<BTNode> q = new LinkedList<>();q.offer(root);while(!q.isEmpty()){BTNode cur = q.poll();   // poll(): 获取到队头元素并出队列System.out.print(cur.data + " ");// 如果cur的左孩子存在，则让cur的左孩子入队列if(cur.left != null){q.offer(cur.left);}// 如果cur的右孩子存在，则让cur的右孩子入队列if(cur.right != null){q.offer(cur.right);}}System.out.println();}

3.二叉树的基本操作

3.1 获取二叉树中节点个数

 // 获取二叉树中节点的个数private int size(BTNode treeRoot){if(treeRoot == null){return 0;}return 1 + size(treeRoot.left) + size(treeRoot.right);}}

3.2获取二叉树中叶子节点的个数

 // 获取二叉树中叶子节点的个数private int getLeafNode(BTNode  treeRoot){if(treeRoot == null){return 0;}if(treeRoot.left == null && treeRoot.right == null){return 1;}return getLeafNode(treeRoot.left) + getLeafNode(treeRoot.right);}

3.3获取二叉树中第k层节点的个数

 // 获取二叉树中第k层节点个数----注意：认为根就在第1层private int getKLevelNode(BTNode treeRoot, int k){if(treeRoot == null || k <= 0){return 0;}// 树一定不为空，k==1说明：获取第一层节点总数，而第一层只有根节点if(k == 1){return 1;}return getKLevelNode(treeRoot.left, k-1) + getKLevelNode(treeRoot.right, k-1);}

3.4 获取树的高度

  // 获取树的高度private int height(BTNode  treeRoot){if(treeRoot == null){return 0;}int leftHeight = height(treeRoot.left);int rightHeight = height(treeRoot.right);return leftHeight > rightHeight? leftHeight+1 : rightHeight+1;}

3.5 查找值为data的节点，并返回

 // 查找值为data的节点，并返回private BTNode find(BTNode  treeRoot, int data){if(treeRoot == null){return null;}if(treeRoot.data == data){return treeRoot;}BTNode  ret = find(treeRoot.left, data);if(ret != null){return ret;}return find(treeRoot.right, data);}