1、请心算列举出群 Z10 的所有生成元。

<2>={2,4,8,6}, <3>={3,9,7,1}, <7>={7,9,3,1}，<8>={8,4,2,1}.

2. 群 Z_17^* 有多少个生成元?已知 3 是其中一个生成元，请问 9 和 10 是否生成元?

因为$\varphi$(16)=8,所以$Z_{17}^{\ast }$有8个生成元。
已知3是其中一个生成元，而$9=3^2$，故$ord(9)=\frac{16}{gcd(2,16)}=8\ne 16$，所以9不是生成元。
因为<10>={10,15,14,4,6,9,5,16,7,2,3,13,11,8,12,1}，ord(10)=16，所以10是生成元。

3、证明：如果群G没有非平凡子群，则群G是循环群。

依题意得：G={e}，令H={ek:k∈Z}\mathbb G=\{e\}，令\mathbb H=\{e^k:k\in \mathbb Z\}G={e}，令H={ek:k∈Z}故有：H={e},\mathbb H=\{e\},H={e},故$\mathbb{H}$是循环群，又$\mathbb{G}=\mathbb{H}$，所以G是循环群。

4、证明：有限循环群G中任意元素的阶都整除群G的阶

设g为$\mathbb{G}$的任意一个元素，则<g>=$\mathbb{H}$为G的子群，故g的阶为ord(g)。群G的阶为n，有拉格朗日定理得：
$$\frac{ord(g)}{n}=\frac{|G|}{|H|}=|G:H|\in {\mathbb{N}}_{+}$$
所以：$ord(g)|n$.