解题关键

我们常见的双曲线的函数表达式为：

$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$

等轴双曲线 $a=b$，所以函数表达式可以改成：

$$x^2-y^2=a^2\text{\hspace{1em}(1)}$$

在上式的基础上，坐标系逆时针旋转45°，就可以得到形如这样的函数表达式

$$xy=m^2\text{\hspace{1em}(2)}$$

注意，（1） 和 （2） 都是等轴双曲线的函数表达式，只是形式不一样而已。

题目

设P,Q,R是等轴双曲线上的任意三点,求证,三角形 PQR 的垂心 H 必在同一等轴双曲线上.

参考答案

设双曲线为 $xy=m^2$

设$p(a,\frac{m^2}{a}),Q(b,\frac{m^2}{b}),R(c,\frac{m^2}{c}),H(x,y)$

因为 H 是垂心，所以 PH⊥QR，QH⊥PR

于是

$$\{\begin{array}{r}\frac{y-\frac{m^2}{a}}{x-a}\cdot \frac{\frac{m^2}{c}-\frac{m^2}{b}}{c-b}=-1\\ \frac{y-\frac{m^2}{b}}{x-b}\cdot \frac{\frac{m^2}{c}-\frac{m^2}{a}}{c-a}=-1\end{array}$$

解得：

$$x=-\frac{m^4}{abc},y=-\frac{abc}{m^2}$$

因为 $xy=m^2$

所以 H 也在双曲线上。

注： 上面那个方程组看似复杂，其实还挺好解的。提示一下：
$$\frac{\frac{m^2}{c}-\frac{m^2}{b}}{c-b}=m^2\cdot \frac{b-c}{bc(c-b)}=-\frac{m^2}{bc}$$

题目背后的故事

几周前我们解析几何老师留了这个题目，我就一直在想怎么解。其实感觉很简单，就是把设 PQR 的坐标，然后把 H 的坐标算出来，然后验证一下 H 在双曲线上。然而这个 H 的坐标是真的难算，无语。今天问了同学，才知道答案上是把双曲线方程设成了 $xy=m^2$ 。大无语了。利用这个方程，果然很简单就算出来了。

参考资料

百度百科-等轴双曲线

如何计算旋转后的图形的坐标点？ - 鸡哥的回答 - 知乎

$x^2-y^2=1$ 的图像

$xy=1/2$ 的图像（由 $x^2+y^2=1$ 逆时针旋转45°得到）

---

2021年10月29日16:42:49