决策树概念

决策树(Decision Tree）是在已知各种情况发生概率的基础上，通过构成决策树来求取净现值的期望值大于等于零的概率，评价项目风险，判断其可行性的决策分析方法，是直观运用概率分析的一种图解法。由于这种决策分支画成图形很像一棵树的枝干，故称决策树。在机器学习中，决策树是一个预测模型，他代表的是对象属性与对象值之间的一种映射关系。Entropy = 系统的凌乱程度，使用算法ID3, C4.5和C5.0生成树算法使用熵。这一度量是基于信息学理论中熵的概念。
决策树是一种树形结构，其中每个内部节点表示一个属性上的测试，每个分支代表一个测试输出，每个叶节点代表一种类别。
分类树（决策树）是一种十分常用的分类方法。它是一种监督学习，所谓监督学习就是给定一堆样本，每个样本都有一组属性和一个类别，这些类别是事先确定的，那么通过学习得到一个分类器，这个分类器能够对新出现的对象给出正确的分类。这样的机器学习就被称之为监督学习。

信息熵

所谓信息熵，是一个数学上颇为抽象的概念，在这里不妨把信息熵理解成某种特定信息的出现概率。而信息熵和热力学熵是紧密相关的。根据Charles H. Bennett对Maxwell’s Demon的重新解释，对信息的销毁是一个不可逆过程，所以销毁信息是符合热力学第二定律的。而产生信息，则是为系统引入负（热力学）熵的过程。所以信息熵的符号与热力学熵应该是相反的。

CART算法

Classification And Regression Tree，即分类回归树算法，简称CART算法，它是决策树的一种实现，通常决策树主要有三种实现，分别是ID3算法，CART算法和C4.5算法。 CART算法是一种二分递归分割技术，把当前样本划分为两个子样本，使得生成的每个非叶子结点都有两个分支，因此CART算法生成的决策树是结构简洁的二叉树。由于CART算法构成的是一个二叉树，它在每一步的决策时只能是“是”或者“否”，即使一个feature有多个取值，也是把数据分为两部分。在CART算法中主要分为两个步骤

（1）将样本递归划分进行建树过程

（2）用验证数据进行剪枝

ID3算法实现

修改数据集为：

新建.ipynb：
代码：

import numpy as np
import pandas as pd
import math
import collections
def import_data():data = pd.read_csv('source\\watermalon.txt')data.head(10)data=np.array(data).tolist()# 特征值列表labels = ['色泽', '根蒂', '敲击', '纹理', '脐部', '触感']# 特征对应的所有可能的情况labels_full = {}for i in range(len(labels)):labelList = [example[i] for example in data]uniqueLabel = set(labelList)labels_full[labels[i]] = uniqueLabelreturn data,labels,labels_full
data,labels,labels_full=import_data()def calcShannonEnt(dataSet):"""计算给定数据集的信息熵(香农熵):param dataSet::return:"""# 计算出数据集的总数numEntries = len(dataSet)# 用来统计标签labelCounts = collections.defaultdict(int)# 循环整个数据集，得到数据的分类标签for featVec in dataSet:# 得到当前的标签currentLabel = featVec[-1]# # 如果当前的标签不再标签集中，就添加进去（书中的写法）# if currentLabel not in labelCounts.keys():#     labelCounts[currentLabel] = 0## # 标签集中的对应标签数目加一# labelCounts[currentLabel] += 1# 也可以写成如下labelCounts[currentLabel] += 1# 默认的信息熵shannonEnt = 0.0for key in labelCounts:# 计算出当前分类标签占总标签的比例数prob = float(labelCounts[key]) / numEntries# 以2为底求对数shannonEnt -= prob * math.log2(prob)return shannonEnt
print(calcShannonEnt(data)) # 输出为：0.9975025463691153

得到结果：

之后准备计算信息增益：

def splitDataSet(dataSet, axis, value):"""按照给定的特征值，将数据集划分:param dataSet: 数据集:param axis: 给定特征值的坐标:param value: 给定特征值满足的条件，只有给定特征值等于这个value的时候才会返回:return:"""# 创建一个新的列表，防止对原来的列表进行修改retDataSet = []# 遍历整个数据集for featVec in dataSet:# 如果给定特征值等于想要的特征值if featVec[axis] == value:# 将该特征值前面的内容保存起来reducedFeatVec = featVec[:axis]# 将该特征值后面的内容保存起来，所以将给定特征值给去掉了reducedFeatVec.extend(featVec[axis + 1:])# 添加到返回列表中retDataSet.append(reducedFeatVec)return retDataSet

确定数据集划分

def chooseBestFeatureToSplit(dataSet, labels):"""选择最好的数据集划分特征，根据信息增益值来计算:param dataSet::return:"""# 得到数据的特征值总数numFeatures = len(dataSet[0]) - 1# 计算出基础信息熵baseEntropy = calcShannonEnt(dataSet)# 基础信息增益为0.0bestInfoGain = 0.0# 最好的特征值bestFeature = -1# 对每个特征值进行求信息熵for i in range(numFeatures):# 得到数据集中所有的当前特征值列表featList = [example[i] for example in dataSet]# 将当前特征唯一化，也就是说当前特征值中共有多少种uniqueVals = set(featList)# 新的熵，代表当前特征值的熵newEntropy = 0.0# 遍历现在有的特征的可能性for value in uniqueVals:# 在全部数据集的当前特征位置上，找到该特征值等于当前值的集合subDataSet = splitDataSet(dataSet=dataSet, axis=i, value=value)# 计算出权重prob = len(subDataSet) / float(len(dataSet))# 计算出当前特征值的熵newEntropy += prob * calcShannonEnt(subDataSet)# 计算出“信息增益”infoGain = baseEntropy - newEntropy#print('当前特征值为：' + labels[i] + '，对应的信息增益值为：' + str(infoGain)+"i等于"+str(i))#如果当前的信息增益比原来的大if infoGain > bestInfoGain:# 最好的信息增益bestInfoGain = infoGain# 新的最好的用来划分的特征值bestFeature = i#print('信息增益最大的特征为：' + labels[bestFeature])return bestFeature

判断属性一致性：

def judgeEqualLabels(dataSet):"""判断数据集的各个属性集是否完全一致:param dataSet::return:"""# 计算出样本集中共有多少个属性，最后一个为类别feature_leng = len(dataSet[0]) - 1# 计算出共有多少个数据data_leng = len(dataSet)# 标记每个属性中第一个属性值是什么first_feature = ''# 各个属性集是否完全一致is_equal = True# 遍历全部属性for i in range(feature_leng):# 得到第一个样本的第i个属性first_feature = dataSet[0][i]# 与样本集中所有的数据进行对比，看看在该属性上是否都一致for _ in range(1, data_leng):# 如果发现不相等的，则直接返回Falseif first_feature != dataSet[_][i]:return Falsereturn is_equal

绘制决策树并打印：

def createTree(dataSet, labels):"""创建决策树:param dataSet: 数据集:param labels: 特征标签:return:"""# 拿到所有数据集的分类标签classList = [example[-1] for example in dataSet]# 统计第一个标签出现的次数，与总标签个数比较，如果相等则说明当前列表中全部都是一种标签，此时停止划分if classList.count(classList[0]) == len(classList):return classList[0]# 计算第一行有多少个数据，如果只有一个的话说明所有的特征属性都遍历完了，剩下的一个就是类别标签，或者所有的样本在全部属性上都一致if len(dataSet[0]) == 1 or judgeEqualLabels(dataSet):# 返回剩下标签中出现次数较多的那个return majorityCnt(classList)# 选择最好的划分特征，得到该特征的下标bestFeat = chooseBestFeatureToSplit(dataSet=dataSet, labels=labels)print(bestFeat)# 得到最好特征的名称bestFeatLabel = labels[bestFeat]print(bestFeatLabel)# 使用一个字典来存储树结构，分叉处为划分的特征名称myTree = {bestFeatLabel: {}}# 将本次划分的特征值从列表中删除掉del(labels[bestFeat])# 得到当前特征标签的所有可能值featValues = [example[bestFeat] for example in dataSet]# 唯一化，去掉重复的特征值uniqueVals = set(featValues)# 遍历所有的特征值for value in uniqueVals:# 得到剩下的特征标签subLabels = labels[:]subTree = createTree(splitDataSet(dataSet=dataSet, axis=bestFeat, value=value), subLabels)# 递归调用，将数据集中该特征等于当前特征值的所有数据划分到当前节点下，递归调用时需要先将当前的特征去除掉myTree[bestFeatLabel][value] = subTreereturn myTree
mytree=createTree(data,labels)
print(mytree)

之后绘制可视化树：

import matplotlib.pylab as plt
import matplotlib# 能够显示中文
matplotlib.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
matplotlib.rcParams['font.serif'] = ['SimHei']# 分叉节点，也就是决策节点
decisionNode = dict(boxstyle="sawtooth", fc="0.8")# 叶子节点
leafNode = dict(boxstyle="round4", fc="0.8")# 箭头样式
arrow_args = dict(arrowstyle="<-")def plotNode(nodeTxt, centerPt, parentPt, nodeType):"""绘制一个节点:param nodeTxt: 描述该节点的文本信息:param centerPt: 文本的坐标:param parentPt: 点的坐标，这里也是指父节点的坐标:param nodeType: 节点类型,分为叶子节点和决策节点:return:"""createPlot.ax1.annotate(nodeTxt, xy=parentPt, xycoords='axes fraction',xytext=centerPt, textcoords='axes fraction',va="center", ha="center", bbox=nodeType, arrowprops=arrow_args)def getNumLeafs(myTree):"""获取叶节点的数目:param myTree::return:"""# 统计叶子节点的总数numLeafs = 0# 得到当前第一个key，也就是根节点firstStr = list(myTree.keys())[0]# 得到第一个key对应的内容secondDict = myTree[firstStr]# 递归遍历叶子节点for key in secondDict.keys():# 如果key对应的是一个字典，就递归调用if type(secondDict[key]).__name__ == 'dict':numLeafs += getNumLeafs(secondDict[key])# 不是的话，说明此时是一个叶子节点else:numLeafs += 1return numLeafsdef getTreeDepth(myTree):"""得到数的深度层数:param myTree::return:"""# 用来保存最大层数maxDepth = 0# 得到根节点firstStr = list(myTree.keys())[0]# 得到key对应的内容secondDic = myTree[firstStr]# 遍历所有子节点for key in secondDic.keys():# 如果该节点是字典，就递归调用if type(secondDic[key]).__name__ == 'dict':# 子节点的深度加1thisDepth = 1 + getTreeDepth(secondDic[key])# 说明此时是叶子节点else:thisDepth = 1# 替换最大层数if thisDepth > maxDepth:maxDepth = thisDepthreturn maxDepthdef plotMidText(cntrPt, parentPt, txtString):"""计算出父节点和子节点的中间位置，填充信息:param cntrPt: 子节点坐标:param parentPt: 父节点坐标:param txtString: 填充的文本信息:return:"""# 计算x轴的中间位置xMid = (parentPt[0]-cntrPt[0])/2.0 + cntrPt[0]# 计算y轴的中间位置yMid = (parentPt[1]-cntrPt[1])/2.0 + cntrPt[1]# 进行绘制createPlot.ax1.text(xMid, yMid, txtString)def plotTree(myTree, parentPt, nodeTxt):"""绘制出树的所有节点，递归绘制:param myTree: 树:param parentPt: 父节点的坐标:param nodeTxt: 节点的文本信息:return:"""# 计算叶子节点数numLeafs = getNumLeafs(myTree=myTree)# 计算树的深度depth = getTreeDepth(myTree=myTree)# 得到根节点的信息内容firstStr = list(myTree.keys())[0]# 计算出当前根节点在所有子节点的中间坐标,也就是当前x轴的偏移量加上计算出来的根节点的中心位置作为x轴（比如说第一次：初始的x偏移量为：-1/2W,计算出来的根节点中心位置为：(1+W)/2W，相加得到：1/2），当前y轴偏移量作为y轴cntrPt = (plotTree.xOff + (1.0 + float(numLeafs))/2.0/plotTree.totalW, plotTree.yOff)# 绘制该节点与父节点的联系plotMidText(cntrPt, parentPt, nodeTxt)# 绘制该节点plotNode(firstStr, cntrPt, parentPt, decisionNode)# 得到当前根节点对应的子树secondDict = myTree[firstStr]# 计算出新的y轴偏移量，向下移动1/D，也就是下一层的绘制y轴plotTree.yOff = plotTree.yOff - 1.0/plotTree.totalD# 循环遍历所有的keyfor key in secondDict.keys():# 如果当前的key是字典的话，代表还有子树，则递归遍历if isinstance(secondDict[key], dict):plotTree(secondDict[key], cntrPt, str(key))else:# 计算新的x轴偏移量，也就是下个叶子绘制的x轴坐标向右移动了1/WplotTree.xOff = plotTree.xOff + 1.0/plotTree.totalW# 打开注释可以观察叶子节点的坐标变化# print((plotTree.xOff, plotTree.yOff), secondDict[key])# 绘制叶子节点plotNode(secondDict[key], (plotTree.xOff, plotTree.yOff), cntrPt, leafNode)# 绘制叶子节点和父节点的中间连线内容plotMidText((plotTree.xOff, plotTree.yOff), cntrPt, str(key))# 返回递归之前，需要将y轴的偏移量增加，向上移动1/D，也就是返回去绘制上一层的y轴plotTree.yOff = plotTree.yOff + 1.0/plotTree.totalDdef createPlot(inTree):"""需要绘制的决策树:param inTree: 决策树字典:return:"""# 创建一个图像fig = plt.figure(1, facecolor='white')fig.clf()axprops = dict(xticks=[], yticks=[])createPlot.ax1 = plt.subplot(111, frameon=False, **axprops)# 计算出决策树的总宽度plotTree.totalW = float(getNumLeafs(inTree))# 计算出决策树的总深度plotTree.totalD = float(getTreeDepth(inTree))# 初始的x轴偏移量，也就是-1/2W，每次向右移动1/W，也就是第一个叶子节点绘制的x坐标为：1/2W，第二个：3/2W，第三个：5/2W，最后一个：(W-1)/2WplotTree.xOff = -0.5/plotTree.totalW# 初始的y轴偏移量，每次向下或者向上移动1/DplotTree.yOff = 1.0# 调用函数进行绘制节点图像plotTree(inTree, (0.5, 1.0), '')# 绘制plt.show()if __name__ == '__main__':createPlot(mytree)

添加标签重新绘制：

def makeTreeFull(myTree, labels_full, default):"""将树中的不存在的特征标签进行补全，补全为父节点中出现最多的类别:param myTree: 生成的树:param labels_full: 特征的全部标签:param parentClass: 父节点中所含最多的类别:param default: 如果缺失标签中父节点无法判断类别则使用该值:return:"""# 这里所说的父节点就是当前根节点，把当前根节点下不存在的特征标签作为子节点# 拿到当前的根节点root_key = list(myTree.keys())[0]# 拿到根节点下的所有分类，可能是子节点（好瓜or坏瓜）也可能不是子节点（再次划分的属性值）sub_tree = myTree[root_key]# 如果是叶子节点就结束if isinstance(sub_tree, str):return# 找到使用当前节点分类下最多的种类，该分类结果作为新特征标签的分类，如：色泽下面没有浅白则用色泽中有的青绿分类作为浅白的分类root_class = []# 把已经分好类的结果记录下来for sub_key in sub_tree.keys():if isinstance(sub_tree[sub_key], str):root_class.append(sub_tree[sub_key])# 找到本层出现最多的类别，可能会出现相同的情况取其一if len(root_class):most_class = collections.Counter(root_class).most_common(1)[0][0]else:most_class = None# 当前节点下没有已经分类好的属性# print(most_class)# 循环遍历全部特征标签，将不存在标签添加进去for label in labels_full[root_key]:if label not in sub_tree.keys():if most_class is not None:sub_tree[label] = most_classelse:sub_tree[label] = default# 递归处理for sub_key in sub_tree.keys():if isinstance(sub_tree[sub_key], dict):makeTreeFull(myTree=sub_tree[sub_key], labels_full=labels_full, default=default)
makeTreeFull(mytree,labels_full,default='未知')
createPlot(mytree)

得到：

使用sklearn库实现

导入包并读取：

# 导入包
import pandas as pd
from sklearn import tree
import graphviz
df = pd.read_csv('..\\source\\watermalon.txt')
df.head(10)

特征值转为数字：

df['色泽']=df['色泽'].map({'浅白':1,'青绿':2,'乌黑':3})
df['根蒂']=df['根蒂'].map({'稍蜷':1,'蜷缩':2,'硬挺':3})
df['敲声']=df['敲声'].map({'清脆':1,'浊响':2,'沉闷':3})
df['纹理']=df['纹理'].map({'清晰':1,'稍糊':2,'模糊':3})
df['脐部']=df['脐部'].map({'平坦':1,'稍凹':2,'凹陷':3})
df['触感'] = np.where(df['触感']=="硬滑",1,2)
df['好瓜'] = np.where(df['好瓜']=="是",1,0)
x_train=df[['色泽','根蒂','敲声','纹理','脐部','触感']]
y_train=df['好瓜']
print(df)
id3=tree.DecisionTreeClassifier(criterion='entropy')
id3=id3.fit(x_train,y_train)
print(id3)

得到：

总结

本次实验学习了解了决策树，信息熵等的概念，对于ID3，C4.5和CART算法的各优缺点有更多的认知。

参考

决策树3:基尼指数–Gini index（CART）
西瓜书中的决策树算法实现（ID3）