【机器学习】目标函数总结
文章目录
- 一、为什么需要目标函数?
- 二、机器学习算法分类
- 三、有监督学习的目标函数
- 概述
- 1. 分类问题
- 2. 回归问题
- 3. 数据生成模型
- 四、无监督学习的目标函数
- 1. 聚类
- 2. 数据降维
- 五、强化学习
- 参考链接
一、为什么需要目标函数?
几乎所有的机器学习算法最后都归结为求解最优化问题,以达到我们想让算法达到的目标。
为了完成某一目标,需要构造出一个目标函数来,然后让该函数取极大值或极小值(也就是优化),从而得到机器学习算法的模型参数。
如何构造出一个合理的目标函数,是建立机器学习算法的关键,一旦目标函数确定,接下来就是求解最优化问题,这在数学上一般有现成的方案。
下面我们将介绍机器学习中一些典型的目标函数的构造思路。
二、机器学习算法分类
一般而言,不同的机器学习算法有不同的目标函数。我们先来看看有哪些ML算法。
按照用途和要解决的问题,机器学习算法可以分为有监督学习,无监督学习,强化学习3种类型。
其中,有监督学习又进一步细分为分类问题与回归问题,无监督学习算法分为聚类问题和数据降维问题。
概括起来,各类算法要解决的核心问题是:
分类算法 是什么
回归算法 是多少
聚类算法 怎么分
数据降维 怎么压
强化学习 怎么做
各种机器学习算法的目的:
-
对于有监督学习中的分类问题与回归问题,机器学习算法寻找一个映射函数:
为输入的样本数据预测出一个实数值或类别标签。
不同的是,分类问题要确定样本的类别,即回答“是什么”的问题;回归问题要预测出一个实数值,即回答“是多少”的问题。
例如,如果要确定一张图像是猫还是狗,则为分类问题,算法的输入为图像,输出为类别编号。如果我们要根据一个人的年龄、学历、行业等信息预测他/她的收入,则属于回归问题。二者都是要确定上面这种形式的函数。 -
对于无监督学习的聚类问题,机器学习算法要寻找一个集合的划分,将样本集D划分成多个不相交的子集:
每个样本属于这些子集中的一个,因此可以概括为解决 “怎么分的问题” ,与分类问题不同的是,这里没有人工事先定义好的类别,因此也没有训练过程。例如,如果要将一批新闻划分为不同类型的,就属于聚类问题,这里没有实现定义好的类,算法自己完成划分,这些类可能是政治、体育、娱乐、经济、军事等。 -
对于数据降维问题,机器学习算法要寻找一个映射函数,将一个高维向量映射成一个低维向量:
但要尽可能的保留之前向量的一些重要信息。 -
对于强化学习,机器学习算法要为每种状态s下确定一个动作a来执行,即确定策略函数,使得执行这些动作之后得到我们预期的结果:
执行动作后会得到奖励,这个预期的结果是让奖励最大化。例如,用强化学习来实现自动驾驶,要根据当前的路况来决定怎么开车,这里的路况就是状态,开车就是动作,通过控制汽车去我们想去的目的地,这就是目标。
上面这些算法要完成的目标是一个抽象的概念,具体实现时,要通过一个“目标函数”来体现,算法要通过让目标函数取极大值或极小值来确定模型的参数。
三、有监督学习的目标函数
概述
首先来看有监督学习,要确定一个映射函数,这个函数带有参数,而参数则通过训练样学习得到。假设映射函数为:
其中θ是模型的参数,如何确定它的值,是训练算法的核心。
一般来说,我们称有监督学习的目标函数为 “损失函数” ,它通过模型对每个训练样本x的预测值y与训练样本的真正标签值y来构造。其含义是,如果算法预测错了,则有损失,因此该函数反映了映射函数的预测值与样本真实标签值之间的误差。让误差最小化,就是让损失函数最小化:
其中L为训练样本数,(xi,yi),i=1,…,L为训练样本。样本的特征向量以及标签值此时是已知的,目标函数的未知数是模型的参数θ。
某些有监督的机器学习算法拟合的是概率密度函数或者某一概率分布,此时需要根据样本来确定概率分布的参数。
在学习概率论与数理统计时我们知道,确定一个概率分布的参数最常用的是最大似然估计,它求解如下的似然函数最大化问题:
求解函数极值时需要对参数求导,这种连乘形式的函数求导不方便,因此对似然函数取对数,得到对数似然函数:
这类问题的核心是根据一组样本来估计概率分布的参数,使得在参数θ取最优值的时候,这组样本出现的概率最大。下面针对分类问题和回归问题,分别总结常用的目标函数。
1. 分类问题
对于分类问题,预测函数的输出值是离散化的类别标签。给定一组训练样本,在训练时的目标是让这组训练样本尽量被正确的分类,这对应于经验风险最小化的思想。
-
感知器算法的是最简单的线性分类器,它的目标是让所有样本尽可能分类。对于二分类问题,线性分类器的判别函数为:
sgn(x)是符号函数,若x>0,则sgnx=1;若x=0,则sgnx= 0;若x<0,则sgnx=-1。
样本的标签值为+1或-1,分别对应正样本和负样本。
如果线性函数预测出来的值和样本的真实标签值异号,则预测错误;如果同号,则预测正确。要将预测错误最小化,只需求解如下最优化问题即可:
如果我们把上式的最后一项想成已经经过sgn处理:那么和前面的yi,若同号则相乘结果为1,异号则相乘结果为-1。加个负号使得同号(预测正确)则结果为-1(损失函数减小),异号(预测错误)则结果为1(损失函数增大)。
但式子中没有经过sgn处理,就是本身的计算值:那么,对于每个训练样本,如果预测正确,则损失函数为负,否则为正。这样我们就构造出了一个容易求解的损失函数。
对于二分类或多分类问题,都可以用欧氏距离作为分类的损失函数。
对于多分类问题,一般不直接用类别编号作为预测值,而是为类别进行向量化编码,如one-hot编码。此时损失函数定义为:
在人工神经网络发展的 早期 ,这种函数被广泛使用,但后来对于多分类问题,更多的采用交叉熵损失函数。 -
线性判别分析(LDA) 是一种有监督的数据降维算法,它的目标是最大化类间差异,最小化类内差异。数据经过投影之后,在低维空间里,同类样本聚集在一起,不同类的样本相距尽可能远。类内差异用每个类的方差来衡量,类间差异用各个类的类中心之间的距离来衡量,二者的比值为我们要优化的目标。由此构造出如下损失函数:
求解这一问题最后归结为求解矩阵的特征值问题。 -
支持向量机
前面介绍的感知器算法的目标函数,欧氏距离损失,代表的都是经验风险,即在训练样本集上让误差最小化。这样做的泛化性能不一定好,还有一种做法为结构化风险最小化,典型代表是支持向量机。
支持向量机不仅要让所有训练样本尽可能被正确分类,还要让分类间隔最大化,根据解析几何中点到超平面的距离公式,我们构造出了它的优化目标:
这个优化问题还带有不等式约束。
我们可以从另一个角度解释支持向量机的优化目标函数,即合页损失函数。合页损失函数定义为:
其意义为当:
即当样本的间隔大于1时:
该样本的损失是0;否则样本的损失是1- yiwTxi。此时是一个正的损失。采用合页损失函数,SVM训练时优化的目标为:
这和前面一种表述是等价的。此时,目标函数的前半部分充当正则化项,后半部分充当真正的损失函数,用于对违反约束的样本进行惩罚。
前面说过,对于输出概率值的模型,可以采用最大似然估计来估计模型的参数。典型的代表是logistic回归。对于二分类问题,如果样本的类别标签值为1和0,则对数似然函数为:
-
将logistic回归推广到多分类问题,即softmax回归,它输出一个样本属于每个类的概率值。因此,训练样本的标签值为一个向量,如果样本属于某一类,该分量为1,其他分量为0。损失函数根据标签向量与预测出的概率向量构造,使用的是softmax交叉熵,定义为:
而交叉熵损失定义为:
它在深度神经网络中被广泛使用。 -
AdaBoost算法训练时优化的目标函数为指数损失函数,它根据强分类器的输出值F(x)与样本的标签值构造:
在这里,样本的标签值为-1或+1,对应于负样本和正样本。强分类器通过加法模型构造,求解时每次优化一个弱分类器和它的权重。 -
神经网络尤其是深度学习中使用的损失函数种类繁多,除了传统的欧氏距离之外,还有近几年流行的交叉熵,以及其他函数,下表列出了常用的一些损失函数以及它们的导数:
在这里,求导是对神经网络的预测数据进行的。损失层是神经网络训练时的最后一层,它也只用于训练阶段。在实现反向传播算法时,它是梯度反向传播的起点。
需要说明的是,对前面介绍的很多损失函数,我们都可以加上正则化项,得到新的损失函数,以减轻过拟合。
2. 回归问题
回归问题直接预测出所需要的函数值。最常用的是欧氏距离损失,它直接反映预测值与真实值之间的误差:
除此之外,还有其他的函数可以考虑,如接下来要介绍的L1光滑的损失函数。如果预测函数是线性函数,则为线性回归,这是最简单的回归算法,其损失函数为:
如果加上L1和L2正则化项,则分别得到LASSO回归和岭回归。
3. 数据生成模型
数据生成模型生成符合某种分布的随机数,而我们并不知道这种随机数服从何种概率分布,因此无法写成概率密度函数的表达式来。
生成对抗网络是深度生成模型的典型代表。
生成对抗网络由一个生成模型与一个判别模型构成,前者先用样本进行学习,然后可以生成和真实样本服从相同分布的样本数据。后者对生成模型生成的样本以及真实样本进行判定,确定一个样本是生成的还是真实的。
训练的目标是,生成模型要尽可能的欺骗判别模型,即让判别模型把自己生成的样本判定为真实样本;判别模型的目标是准确的区分出真实样本和生成的样本,尽可能的把生成模型产生的模型鉴别处理,即判定为假。由此构造出如下的目标函数:
目标函数由两部分构成。后半部分只用于生成模型(要让生成模型产生的样本尽可能被判别模型判定为真,即让D(G(z))尽可能接近于1,即让目标函数取极小值。整个目标函数都用于判别模型,前半部分要让判别模型将真实样本尽量判别为真,后半部分要让判别模型将生成样本尽量判别为假,即让目标函数取极大值,这类似于分类问题的交叉熵。
关于生成对抗网络更详细的解释请参见我的另一篇文章:【机器学习】生成对抗网络 GAN
四、无监督学习的目标函数
无监督学习分为聚类问题与数据降维问题两种类型,它们优化的目标完全不同,下面分别进行介绍。
1. 聚类
聚类算法将一组样本划分成多个类,确保同一类中的样本差异尽可能小,而不同类的样本之间尽量不同。可以基于这一思想构造损失函数:
其含义是每一类样本距离它的类中心要近,可以理解为这类似于每个类的方差。所有类的方差之和要尽可能小。这就是k均值算法要优化的目标。
2. 数据降维
数据降维算法要确保将向量投影到低维空间之后,仍然尽可能的保留之前的一些信息,至于这些信息是什么,有各种不同理解,由此诞生了各种不同的降维算法。
-
主成分分析的优化目标是最小化重构误差,即用投影到低维空间中的向量近似重构原始向量,二者之间的误差要尽可能的小。最小化重构误差的目标为:
这里有附带约束条件,即投影的基向量ej之间要相互正交。 -
类似的,自动编码器也采用了这一思想。自动编码器是一种特殊的神经网络,由编码器和解码器两部分构成。前者对输入数据进行映射,得到编码后的向量;后者对编码后的向量进行重构,恢复出原始向量。解码器只在训练时使用,训练完成之后,只需要编码器这一部分,用于对输入数据进行降维或特征提取。其训练时的目标函数为:
即神经网络训练时的标签值和输入向量值相同。这和PCA非常类似,不同的是神经网络的映射是非线性的。 -
某些非线性降维算法如流形学习,采用了更复杂的目标函数。以等距映射为例,它采用了测地距离来构造损失函数,投影到低维空间之后,要保持这种距离信息,由此得到优化目标函数为:
五、强化学习
不同于有监督学习和无监督学习,强化学习的目的是寻找出一个策略函数,使得在每种状态下,按照该函数确定的动作执行,最后得到的累计回报最大化。之所以要计算累计回报是因为执行完一个动作之后要进入一个新的状态,在这个新的状态下又要执行动作。这里的累计回报用状态价值函数或者动作价值函数来定义,这是递归的定义。
状态价值函数的自变量为状态以及策略函数,定义为在一个状态s下按照策略π来确定动作执行,最后得到的累计回报值:
如果使用状态价值函数,强化学习要求解所有状态下的状态价值函数最大化问题:
由于各个状态之间存在关联,因此求解算法不同于其他机器学习算法。
参考链接
- 机器学习中的目标函数总结
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原标题:氧生福地 玩美北湖(下)——奔跑吧骚年!让我们红尘做伴 活得潇潇洒洒 策马奔腾共享人世繁华 对酒当歌唱出心中喜悦 轰轰烈烈把握青春年华 让我们红尘做伴 活得潇潇洒洒 策马奔腾共享人世繁华 对酒当歌唱出心中喜悦 轰轰烈烈把握青春年华 啊……啊……啊 两…...
2024/4/25 18:39:12 - 扒开伪装医用面膜,翻六倍价格宰客,小姐姐注意了!
原标题:扒开伪装医用面膜,翻六倍价格宰客,小姐姐注意了!扒开伪装医用面膜,翻六倍价格宰客!当行业里的某一品项火爆了,就会有很多商家蹭热度,装逼忽悠,最近火爆朋友圈的医用面膜,被沾上了污点,到底怎么回事呢? “比普通面膜安全、效果好!痘痘、痘印、敏感肌都能用…...
2024/4/25 2:10:52 - 「发现」铁皮石斛仙草之神奇功效用于医用面膜
原标题:「发现」铁皮石斛仙草之神奇功效用于医用面膜丽彦妆铁皮石斛医用面膜|石斛多糖无菌修护补水贴19大优势: 1、铁皮石斛:自唐宋以来,一直被列为皇室贡品,铁皮石斛生于海拔1600米的悬崖峭壁之上,繁殖力差,产量极低,所以古代仅供皇室、贵族享用 2、铁皮石斛自古民间…...
2024/4/25 18:39:00 - 丽彦妆\医用面膜\冷敷贴轻奢医学护肤引导者
原标题:丽彦妆\医用面膜\冷敷贴轻奢医学护肤引导者【公司简介】 广州华彬企业隶属香港华彬集团有限公司,专注美业21年,其旗下品牌: 「圣茵美」私密荷尔蒙抗衰,产后修复 「圣仪轩」私密荷尔蒙抗衰,产后修复 「花茵莳」私密荷尔蒙抗衰,产后修复 「丽彦妆」专注医学护…...
2024/4/25 13:19:01 - 广州械字号面膜生产厂家OEM/ODM4项须知!
原标题:广州械字号面膜生产厂家OEM/ODM4项须知!广州械字号面膜生产厂家OEM/ODM流程及注意事项解读: 械字号医用面膜,其实在我国并没有严格的定义,通常我们说的医美面膜指的应该是一种「医用敷料」,也就是说,医用面膜其实算作「医疗器械」的一种,又称「医用冷敷贴」。 …...
2024/4/25 18:38:58 - 械字号医用眼膜缓解用眼过度到底有无作用?
原标题:械字号医用眼膜缓解用眼过度到底有无作用?医用眼膜/械字号眼膜/医用冷敷眼贴 凝胶层为亲水高分子材料,含70%以上的水分。体表皮肤温度传导到本产品的凝胶层,热量被凝胶内水分子吸收,通过水分的蒸发带走大量的热量,可迅速地降低体表皮肤局部温度,减轻局部皮肤的灼…...
2024/4/25 18:38:57 - 配置失败还原请勿关闭计算机,电脑开机屏幕上面显示,配置失败还原更改 请勿关闭计算机 开不了机 这个问题怎么办...
解析如下:1、长按电脑电源键直至关机,然后再按一次电源健重启电脑,按F8健进入安全模式2、安全模式下进入Windows系统桌面后,按住“winR”打开运行窗口,输入“services.msc”打开服务设置3、在服务界面,选中…...
2022/11/19 21:17:18 - 错误使用 reshape要执行 RESHAPE,请勿更改元素数目。
%读入6幅图像(每一幅图像的大小是564*564) f1 imread(WashingtonDC_Band1_564.tif); subplot(3,2,1),imshow(f1); f2 imread(WashingtonDC_Band2_564.tif); subplot(3,2,2),imshow(f2); f3 imread(WashingtonDC_Band3_564.tif); subplot(3,2,3),imsho…...
2022/11/19 21:17:16 - 配置 已完成 请勿关闭计算机,win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机...
win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机”问题的解决方法在win7系统关机时如果有升级系统的或者其他需要会直接进入一个 等待界面,在等待界面中我们需要等待操作结束才能关机,虽然这比较麻烦,但是对系统进行配置和升级…...
2022/11/19 21:17:15 - 台式电脑显示配置100%请勿关闭计算机,“准备配置windows 请勿关闭计算机”的解决方法...
有不少用户在重装Win7系统或更新系统后会遇到“准备配置windows,请勿关闭计算机”的提示,要过很久才能进入系统,有的用户甚至几个小时也无法进入,下面就教大家这个问题的解决方法。第一种方法:我们首先在左下角的“开始…...
2022/11/19 21:17:14 - win7 正在配置 请勿关闭计算机,怎么办Win7开机显示正在配置Windows Update请勿关机...
置信有很多用户都跟小编一样遇到过这样的问题,电脑时发现开机屏幕显现“正在配置Windows Update,请勿关机”(如下图所示),而且还需求等大约5分钟才干进入系统。这是怎样回事呢?一切都是正常操作的,为什么开时机呈现“正…...
2022/11/19 21:17:13 - 准备配置windows 请勿关闭计算机 蓝屏,Win7开机总是出现提示“配置Windows请勿关机”...
Win7系统开机启动时总是出现“配置Windows请勿关机”的提示,没过几秒后电脑自动重启,每次开机都这样无法进入系统,此时碰到这种现象的用户就可以使用以下5种方法解决问题。方法一:开机按下F8,在出现的Windows高级启动选…...
2022/11/19 21:17:12 - 准备windows请勿关闭计算机要多久,windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机怎么办...
有不少windows10系统用户反映说碰到这样一个情况,就是电脑提示正在准备windows请勿关闭计算机,碰到这样的问题该怎么解决呢,现在小编就给大家分享一下windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机的具体第一种方法:1、2、依次…...
2022/11/19 21:17:11 - 配置 已完成 请勿关闭计算机,win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机”的解决方法...
今天和大家分享一下win7系统重装了Win7旗舰版系统后,每次关机的时候桌面上都会显示一个“配置Windows Update的界面,提示请勿关闭计算机”,每次停留好几分钟才能正常关机,导致什么情况引起的呢?出现配置Windows Update…...
2022/11/19 21:17:10 - 电脑桌面一直是清理请关闭计算机,windows7一直卡在清理 请勿关闭计算机-win7清理请勿关机,win7配置更新35%不动...
只能是等着,别无他法。说是卡着如果你看硬盘灯应该在读写。如果从 Win 10 无法正常回滚,只能是考虑备份数据后重装系统了。解决来方案一:管理员运行cmd:net stop WuAuServcd %windir%ren SoftwareDistribution SDoldnet start WuA…...
2022/11/19 21:17:09 - 计算机配置更新不起,电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?
原标题:电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?win7系统中在开机与关闭的时候总是显示“配置windows update请勿关闭计算机”相信有不少朋友都曾遇到过一次两次还能忍但经常遇到就叫人感到心烦了遇到这种问题怎么办呢?一般的方…...
2022/11/19 21:17:08 - 计算机正在配置无法关机,关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机...
关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!关机提示 windows7 正在配…...
2022/11/19 21:17:05 - 钉钉提示请勿通过开发者调试模式_钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用...
钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用 更新时间:2020-04-20 22:24:19 浏览次数:729次 区域: 南阳 > 卧龙 列举网提醒您:为保障您的权益,请不要提前支付任何费用! 虚拟位置外设器!!轨迹模拟&虚拟位置外设神器 专业用于:钉钉,外勤365,红圈通,企业微信和…...
2022/11/19 21:17:05 - 配置失败还原请勿关闭计算机怎么办,win7系统出现“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”,长时间没反应,无法进入系统的解决方案...
前几天班里有位学生电脑(windows 7系统)出问题了,具体表现是开机时一直停留在“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”这个界面,长时间没反应,无法进入系统。这个问题原来帮其他同学也解决过,网上搜了不少资料&#x…...
2022/11/19 21:17:04 - 一个电脑无法关闭计算机你应该怎么办,电脑显示“清理请勿关闭计算机”怎么办?...
本文为你提供了3个有效解决电脑显示“清理请勿关闭计算机”问题的方法,并在最后教给你1种保护系统安全的好方法,一起来看看!电脑出现“清理请勿关闭计算机”在Windows 7(SP1)和Windows Server 2008 R2 SP1中,添加了1个新功能在“磁…...
2022/11/19 21:17:03 - 请勿关闭计算机还原更改要多久,电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机怎么办...
许多用户在长期不使用电脑的时候,开启电脑发现电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机。。.这要怎么办呢?下面小编就带着大家一起看看吧!如果能够正常进入系统,建议您暂时移…...
2022/11/19 21:17:02 - 还原更改请勿关闭计算机 要多久,配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以...
配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机&#x…...
2022/11/19 21:17:01 - 电脑配置中请勿关闭计算机怎么办,准备配置windows请勿关闭计算机一直显示怎么办【图解】...
不知道大家有没有遇到过这样的一个问题,就是我们的win7系统在关机的时候,总是喜欢显示“准备配置windows,请勿关机”这样的一个页面,没有什么大碍,但是如果一直等着的话就要两个小时甚至更久都关不了机,非常…...
2022/11/19 21:17:00 - 正在准备配置请勿关闭计算机,正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了解决教程...
当电脑出现正在准备配置windows请勿关闭计算机时,一般是您正对windows进行升级,但是这个要是长时间没有反应,我们不能再傻等下去了。可能是电脑出了别的问题了,来看看教程的说法。正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了方法一…...
2022/11/19 21:16:59 - 配置失败还原请勿关闭计算机,配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机...
我们使用电脑的过程中有时会遇到这种情况,当我们打开电脑之后,发现一直停留在一个界面:“配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机”,等了许久还是无法进入系统。如果我们遇到此类问题应该如何解决呢࿰…...
2022/11/19 21:16:58 - 如何在iPhone上关闭“请勿打扰”
Apple’s “Do Not Disturb While Driving” is a potentially lifesaving iPhone feature, but it doesn’t always turn on automatically at the appropriate time. For example, you might be a passenger in a moving car, but your iPhone may think you’re the one dri…...
2022/11/19 21:16:57