一、斐波那契数

1.题目

509.斐波那契数

斐波那契数，通常用 F(n) 表示，形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是：
F(0) = 0，F(1) = 1
F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1
给你 n ，请计算 F(n) 。
0 <= n <= 30

2.分析

从第三个数开始，每个数都是前两个数的和，所以解法有两种：

方法一：递归（代码简单，但是运行效率不高）

1. 只要给定运行的终点，即F(0)和F(1)，后面第n个数，通过递归最终都会回到F(0) + F(1)。

方法二：数组

1. 定义一个数组 int[] f，将运算得到值存到数组中，最后直接通过数组下标获取第n个的值 f [n]。
2. 定义数组时，数组长度为 n + 2，因为斐波那契数运算前已经有两个已知的数。如果定义数组长度为n，当要求第1个数时，n = 1，数组长度则为1，在赋值 f [1] 时会出现数组越界异常。

3.代码

方法一：递归

    public int fib(int n) {if (n == 0){return 0;}if (n == 1){return 1;}return fib(n-1)+fib(n-2);}

方法二：数组

    public int fib(int n){int[] f = new int[n + 2];f[0] = 0;f[1] = 1;int i;for (i = 2;i <= n;i++){f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];}return f[n];}

二、第N个泰波那契数

1.题目

1137.第N个泰波那契数

泰波那契序列 Tn 定义如下：
T0 = 0, T1 = 1, T2 = 1, 且在 n >= 0 的条件下 Tn+3 = Tn + Tn+1 + Tn+2
给你整数 n，请返回第 n 个泰波那契数 Tn 的值。
0 <= n <= 37
答案保证是一个 32 位整数，即 answer <= 2^31 - 1。

2.分析

1. 这里只展示数组的方法，就不展示递归了
2. 思路跟斐波那契数是一样的，只需要注意定义数组长度时，因为已知的有3个元素，所以需要定义为 n + 3。

3.代码

    public int tribonacci(int n) {int[] t = new int[n + 3];t[0] = 0;t[1] = 1;t[2] = 1;int i;for(i = 3;i <= n;i++){t[i] = t[i - 1] + t[i - 2] + t[i - 3];}return t[n];}

三、求 1+2+…+n

1.题目

剑指 Offer 64.求 1+2+…+n

求 1+2+…+n ，要求不能使用乘除法、for、while、if、else、switch、case等关键字及条件判断语句（A?B:C）。
1 <= n <= 10000

2.分析

这道题涉及到的知识点：

1. 等差数列求和公式：(a1 + an) n / 2 或 n * a1 + n (n - 1) d / 2，其中，an = a1 + (n - 1) d，a1为首项，an为末项，d为公差

因此，代码中只需要代入上述公式，就能得出结果。

3.代码

    public int sumNums(int n) {return (1+n)*n/2;}

四、单调数列

1.题目

896.单调数列

如果数组是单调递增或单调递减的，那么它是单调的。
如果对于所有 i <= j，A[i] <= A[j]，那么数组 A 是单调递增的。 如果对于所有 i <= j，A[i]> = A[j]，那么数组 A 是单调递减的。
当给定的数组 A 是单调数组时返回 true，否则返回 false。
1 <= A.length <= 50000
-100000 <= A[i] <= 100000

2.分析

这道题对我来说，难点在于给定数组的单调性是未知的，并且这里单调性的判断不是严格单调（A[i] < A[j]），需要考虑相等的情况：

1. 先给定两个布尔值 increase 和 decrease 来保存数组的单调性，初始化都为false。
2. 在遍历数组时，两数比较会有三种情况：
   i <= j，A[i] < A[j]，decrease 改为true
   i <= j，A[i] > A[j]，increase 改为true
   i <= j，A[i] = A[j]，两个布尔值都不需要修改
3. 如果是单调数组，两个布尔值分别会出现三种情况：
   increase = true，decrease = false（递增）；
   increase = false，decrease = true（递减）；
   increase = false，decrease = false（所有数相等）；

因此，当出现increase 和 decrease 都为true时，则不是单调数列，直接返回false

3.代码

    public boolean isMonotonic(int[] nums) {int n = nums.length;boolean increase = false;boolean decrease = false;int i;for (i = 1;i < n;i++){int t = nums[i] - nums[i - 1];if (t > 0){increase = true;} else if (t < 0){decrease = true;}if (increase && decrease){return false;}}return true;}