算法笔记(14):树状数组
树状数组的原理
在树状数组中,tree[k]tree[k]tree[k]维护了∑i=k−lowerbit(k)ka[i]\sum_{i=k-lowerbit(k)}^k{a[i]}∑i=k−lowerbit(k)ka[i]。其支持单点修改和区间查询操作。本质上树状数组是利用了二进制的性质的一种数据结构,下面我们分别来看单点修改和区间查询是如何以一个较低的复杂度实现的。先给出lowerbit的实现:
int lowerbit(int x)
{return (x & (-x));//返回x的最低位的1的权值,如x=100100b则返回100b
}
单点修改
当我们修改原数组中某一个点的值时,树状数组所有维护区间包含该点的数组元素都要更新。这里借用一张知乎图来举一个修改a[100110b]时的树状数组更新情况。
根据二进制的性质我们知道,在树状数组中维护区间包含了100110b的数组元素为tree[100110b],tree[100110b+lowerbit(100110b),tree[101000b+lowerbit(101000b)...tree[100110b],tree[100110b+lowerbit(100110b),tree[101000b+lowerbit(101000b)...tree[100110b],tree[100110b+lowerbit(100110b),tree[101000b+lowerbit(101000b)...直到r+lowerbit(r)>nr+lowerbit(r)>nr+lowerbit(r)>n。易知该更新次数不会超过logn\log{n}logn。
实现:
void update(int i, int x)
{while (i <= N - 5){tree[i] += x;i += lowerbit(i);}
}
复杂度:O(logn)O(\log n)O(logn)
区间查询
我们很容易查询[0,k][0,k][0,k]区间的值(用lowerbit拆分区间即可),故采用query®-query(l-1)的方式来查询区间[l,r][l,r][l,r]的区间值。
实现:
int query(int r)
{int res = 0;while (r){res += tree[r];r -= lowerbit(r);}return res;
}
由二进制性质易知循环次数不会超过logn\log nlogn
复杂度:O(logn)O(\log n)O(logn)
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2022/11/19 21:17:00 - 正在准备配置请勿关闭计算机,正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了解决教程...
当电脑出现正在准备配置windows请勿关闭计算机时,一般是您正对windows进行升级,但是这个要是长时间没有反应,我们不能再傻等下去了。可能是电脑出了别的问题了,来看看教程的说法。正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了方法一…...
2022/11/19 21:16:59 - 配置失败还原请勿关闭计算机,配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机...
我们使用电脑的过程中有时会遇到这种情况,当我们打开电脑之后,发现一直停留在一个界面:“配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机”,等了许久还是无法进入系统。如果我们遇到此类问题应该如何解决呢࿰…...
2022/11/19 21:16:58 - 如何在iPhone上关闭“请勿打扰”
Apple’s “Do Not Disturb While Driving” is a potentially lifesaving iPhone feature, but it doesn’t always turn on automatically at the appropriate time. For example, you might be a passenger in a moving car, but your iPhone may think you’re the one dri…...
2022/11/19 21:16:57