数字计数?
数位 DP
本篇主要内容是一片题解传送门:luogu P2602 数字计数
题目描述
给定两个正整数 a 和 b,求在 [a,b] 中的所有整数中,每个数码(digit)各出现了多少次。输出包含一行十个整数,分别表示 0∼9 在 [a,b] 中出现了多少次。
输入输出样例:
输入:1 99
输出:9 20 20 20 20 20 20 20 20 20
分析
乍一看好像是一道大水题,再一看数据范围,101210^{12}1012 …,好吧这题不水。
但是这道题还是很良心的啊,都把 digit 数码在题目中给你写出来了,这不明摆着就是一道数位 DP 的题吗。那我们就来看看能不能把递推式给整出来。
总思路:我们把从 a 到 b 的所有数字中的各个数码出现的次数转化成这样:1 ~ b 中的所有数字的各个数码出现的次数减去 1 ~ a - 1 中的所有数字的各个数码出现的次数。所以我们现在考虑怎样求出 1 ~ n 的所有数字的各个数码的出现次数。
首先,我们发现这一道题有一个很烦人的东西,叫做 “前导0”,因为有这个东西,所以我们很难直接写出递推式,只能在考虑了没有它的情况之后再减去考虑它之后的那些多出来的值。给没学过数位 DP 的读者们解释一下,“前导0” 是指我们在枚举数位的时候会碰到枚举出来的数是这样的情况:0000abc...‾\overline{0000abc...}0000abc...,这些真正的数字前面的 “0” 们我们就叫它们 “前导0”。
首先考虑没有前导 0 的情况,根据我们的 数学常识 我们可以知道,在 0 ~ 9,0 ~ 99,0 ~ 999 … 这些区间里面,所有数字的出现次数是相同的。不知道这个 c常识 的读者可以试着自己打打表验证一下。如果我们把这些数字出现的次数算出来的话,我们会发现下面这样的规律:
0∼9:10∼99:200∼999:3000∼9999:40000∼99999:50000⋮\begin{aligned} 0 \sim 9 &: 1\\ 0 \sim 99 &: 20\\ 0 \sim 999 &: 300\\ 0 \sim 9999 &: 4000\\ 0 \sim 99999 &: 50000\\ \vdots \end{aligned} 0∼90∼990∼9990∼99990∼99999⋮:1:20:300:4000:50000
这个规律应该是很明显的了,如果我们把所有的 iii 位数(含前导0)中隔个数字出现的总次数记为 fif_ifi 那么我们就有 fi=10×fi−1+10i−1f_i = 10 \times f_{i-1} + 10^{i-1}fi=10×fi−1+10i−1。(不知道怎么计算每个数字出现的次数的也可以试着打一下表,打表程序放在下面了)
int cnt = 0;
for(int i = 1; i < 10000000; i++){int temp = i;while(temp){int x = temp % 10;if(x == 1){ // 所有数字出现次数一样,所以只用统计 1cnt++;}temp /= 10;}
}
printf("%d\n", cnt);
既然我们有了这个规律,很自然的我们根据分治的思想可以想到把数字 a 分成不同的部分,我们考虑这样分(假设 a=ABCD‾a = \overline{ABCD}a=ABCD):从最高位开始分别处理不同的位数,也就是分别处理:A000‾\overline{A000}A000,0B00‾\overline{0B00}0B00, 00C0‾\overline{00C0}00C0 和 000D‾\overline{000D}000D。
首先我们来讨论如何处理最高位: A000‾\overline{A000}A000。因为我们知道 0 ~ 999 之间的每个数字都出现了 f3f_3f3 次,所以我们考虑先把这个 A000‾\overline{A000}A000 看成 0000‾∼1000‾∼2000‾∼⋯∼A000‾\overline{0000} \sim \overline{1000} \sim \overline{2000} \sim \cdots \sim \overline{A000}0000∼1000∼2000∼⋯∼A000。感性的来讲,是不是所有数字都出现了 A×f3A \times f_3A×f3 次呢?不是的,因为除了这些数字,还要加上首位出现的次数,也就是比 A 小的每个数要多出现 10310^3103 次。
这应该比较好理解,如果不理解的话我简单的说一下,我们知道 0∼9990 \sim 9990∼999 中的所有数字的各个数码出现次数相等且都是 f3f_3f3 次。那我们是不是可以把这些书写成这样 0000‾,0001‾,0002‾,⋯,0999‾\overline{0000}, \overline{0001},\overline{0002}, \cdots,\overline{0999}0000,0001,0002,⋯,0999,再看从 1000∼19991000 \sim 19991000∼1999 的这些数字,如果忽略最高位 1,那么是不是他们就和 0∼9990 \sim 9990∼999 一模一样,所以从 1000∼19991000 \sim 19991000∼1999 中,所有数字都要出现 f3f_3f3 次,且首位 1 会多出现 10310^3103 次(因为每一个数都多一个 1)。同理:2000∼29992000 \sim 29992000∼2999 中的每个数字都出现 f3f_3f3 次且数字 2 多出现了 10310^3103 次。以此类推。
但是这还没完,首位 A 出现的次数没有被统计下来,因为在后面还会有 A001‾,A002‾,A003‾,⋯,ABCD‾\overline{A001},\overline{A002},\overline{A003},\cdots,\overline{ABCD}A001,A002,A003,⋯,ABCD,也就是说最高位 A 还要再多出现 BCD‾+1\overline{BCD} + 1BCD+1 次。
把这些因素都考虑进去之后,我们就把首位给处理完了。接着就是用同样的方法来处理抛开最高位之后剩下的最高位了。
当然,我们前面说的都是在一个大前提之下:不考虑前导0。所以现在我们需要把数字 0 出现的次数减去那些前导0 的个数。还是可以利用 “打表大法” 和 “瞪眼观察大法”,我们可以推出前导0的个数等于:10i−1+10i−2+⋯+1010^{i-1} + 10^{i-2} + \cdots + 1010i−1+10i−2+⋯+10。然后整道题就愉快地 A 掉了。
综上所述,我们梳理一下求解的流程。
- 预处理(或打表)出来一个 f 数组,其中 fif_ifi 表示在所有的 i 位数(包含前导0)中各个数码出现的次数。数值上 fi=i×10i−1f_i = i \times 10^{i-1}fi=i×10i−1。
- 循环枚举各个数位,对每个数位进行以下操作(设这个数位是第 i 位上的数码为 A):每个数码出现的次数加上 A×fi−1A \times f_{i-1}A×fi−1,然后比 A 小的数码出现次数再加上 10310^3103,然后 A 出现的次数再加上 BCD‾+1\overline{BCD} + 1BCD+1 次。
- 数字 0 出现的次数减去 ∑n=1i−110n\sum_{n=1}^{i-1}10^n∑n=1i−110n 次。
代码如下:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long longint l = 0; int r = 0;
int cntl[20] = { 0 }; int cntr[20] = { 0 };
int f[20] = { 0, 1, 20, 300, 4000, 50000, 600000, 7000000, 80000000, 900000000, 10000000000, 110000000000, 1200000000000, 13000000000000, 140000000000000, 1500000000000000 };// 10 的 n 次方
int power[20] = { 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000, 10000000, 100000000, 1000000000, 10000000000, 100000000000, 1000000000000, 10000000000000, 100000000000000, 1000000000000000 };void solve(int x, int cnt[]){int num[20] = { 0 }; int len = 0;while(x){num[++len] = x % 10; x /= 10;}for(int i = len; i >= 1; i--){for(int j = 0; j <= 9; j++){cnt[j] += num[i] * f[i-1];}for(int j = 0; j < num[i]; j++){cnt[j] += power[i-1];}int temp = 0;for(int j = i - 1; j >= 1; j--){temp = temp * 10 + num[j];}cnt[num[i]] += temp + 1;cnt[0] -= power[i-1];}
}signed main(){scanf("%lld%lld", &l, &r);solve(l-1, cntl); solve(r, cntr);for(int i = 0; i <= 9; i++){printf("%lld ", cntr[i] - cntl[i]);}puts("");return 0;
}
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2024/5/4 23:54:56 - 配置失败还原请勿关闭计算机,电脑开机屏幕上面显示,配置失败还原更改 请勿关闭计算机 开不了机 这个问题怎么办...
解析如下:1、长按电脑电源键直至关机,然后再按一次电源健重启电脑,按F8健进入安全模式2、安全模式下进入Windows系统桌面后,按住“winR”打开运行窗口,输入“services.msc”打开服务设置3、在服务界面,选中…...
2022/11/19 21:17:18 - 错误使用 reshape要执行 RESHAPE,请勿更改元素数目。
%读入6幅图像(每一幅图像的大小是564*564) f1 imread(WashingtonDC_Band1_564.tif); subplot(3,2,1),imshow(f1); f2 imread(WashingtonDC_Band2_564.tif); subplot(3,2,2),imshow(f2); f3 imread(WashingtonDC_Band3_564.tif); subplot(3,2,3),imsho…...
2022/11/19 21:17:16 - 配置 已完成 请勿关闭计算机,win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机...
win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机”问题的解决方法在win7系统关机时如果有升级系统的或者其他需要会直接进入一个 等待界面,在等待界面中我们需要等待操作结束才能关机,虽然这比较麻烦,但是对系统进行配置和升级…...
2022/11/19 21:17:15 - 台式电脑显示配置100%请勿关闭计算机,“准备配置windows 请勿关闭计算机”的解决方法...
有不少用户在重装Win7系统或更新系统后会遇到“准备配置windows,请勿关闭计算机”的提示,要过很久才能进入系统,有的用户甚至几个小时也无法进入,下面就教大家这个问题的解决方法。第一种方法:我们首先在左下角的“开始…...
2022/11/19 21:17:14 - win7 正在配置 请勿关闭计算机,怎么办Win7开机显示正在配置Windows Update请勿关机...
置信有很多用户都跟小编一样遇到过这样的问题,电脑时发现开机屏幕显现“正在配置Windows Update,请勿关机”(如下图所示),而且还需求等大约5分钟才干进入系统。这是怎样回事呢?一切都是正常操作的,为什么开时机呈现“正…...
2022/11/19 21:17:13 - 准备配置windows 请勿关闭计算机 蓝屏,Win7开机总是出现提示“配置Windows请勿关机”...
Win7系统开机启动时总是出现“配置Windows请勿关机”的提示,没过几秒后电脑自动重启,每次开机都这样无法进入系统,此时碰到这种现象的用户就可以使用以下5种方法解决问题。方法一:开机按下F8,在出现的Windows高级启动选…...
2022/11/19 21:17:12 - 准备windows请勿关闭计算机要多久,windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机怎么办...
有不少windows10系统用户反映说碰到这样一个情况,就是电脑提示正在准备windows请勿关闭计算机,碰到这样的问题该怎么解决呢,现在小编就给大家分享一下windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机的具体第一种方法:1、2、依次…...
2022/11/19 21:17:11 - 配置 已完成 请勿关闭计算机,win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机”的解决方法...
今天和大家分享一下win7系统重装了Win7旗舰版系统后,每次关机的时候桌面上都会显示一个“配置Windows Update的界面,提示请勿关闭计算机”,每次停留好几分钟才能正常关机,导致什么情况引起的呢?出现配置Windows Update…...
2022/11/19 21:17:10 - 电脑桌面一直是清理请关闭计算机,windows7一直卡在清理 请勿关闭计算机-win7清理请勿关机,win7配置更新35%不动...
只能是等着,别无他法。说是卡着如果你看硬盘灯应该在读写。如果从 Win 10 无法正常回滚,只能是考虑备份数据后重装系统了。解决来方案一:管理员运行cmd:net stop WuAuServcd %windir%ren SoftwareDistribution SDoldnet start WuA…...
2022/11/19 21:17:09 - 计算机配置更新不起,电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?
原标题:电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?win7系统中在开机与关闭的时候总是显示“配置windows update请勿关闭计算机”相信有不少朋友都曾遇到过一次两次还能忍但经常遇到就叫人感到心烦了遇到这种问题怎么办呢?一般的方…...
2022/11/19 21:17:08 - 计算机正在配置无法关机,关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机...
关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!关机提示 windows7 正在配…...
2022/11/19 21:17:05 - 钉钉提示请勿通过开发者调试模式_钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用...
钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用 更新时间:2020-04-20 22:24:19 浏览次数:729次 区域: 南阳 > 卧龙 列举网提醒您:为保障您的权益,请不要提前支付任何费用! 虚拟位置外设器!!轨迹模拟&虚拟位置外设神器 专业用于:钉钉,外勤365,红圈通,企业微信和…...
2022/11/19 21:17:05 - 配置失败还原请勿关闭计算机怎么办,win7系统出现“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”,长时间没反应,无法进入系统的解决方案...
前几天班里有位学生电脑(windows 7系统)出问题了,具体表现是开机时一直停留在“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”这个界面,长时间没反应,无法进入系统。这个问题原来帮其他同学也解决过,网上搜了不少资料&#x…...
2022/11/19 21:17:04 - 一个电脑无法关闭计算机你应该怎么办,电脑显示“清理请勿关闭计算机”怎么办?...
本文为你提供了3个有效解决电脑显示“清理请勿关闭计算机”问题的方法,并在最后教给你1种保护系统安全的好方法,一起来看看!电脑出现“清理请勿关闭计算机”在Windows 7(SP1)和Windows Server 2008 R2 SP1中,添加了1个新功能在“磁…...
2022/11/19 21:17:03 - 请勿关闭计算机还原更改要多久,电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机怎么办...
许多用户在长期不使用电脑的时候,开启电脑发现电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机。。.这要怎么办呢?下面小编就带着大家一起看看吧!如果能够正常进入系统,建议您暂时移…...
2022/11/19 21:17:02 - 还原更改请勿关闭计算机 要多久,配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以...
配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机&#x…...
2022/11/19 21:17:01 - 电脑配置中请勿关闭计算机怎么办,准备配置windows请勿关闭计算机一直显示怎么办【图解】...
不知道大家有没有遇到过这样的一个问题,就是我们的win7系统在关机的时候,总是喜欢显示“准备配置windows,请勿关机”这样的一个页面,没有什么大碍,但是如果一直等着的话就要两个小时甚至更久都关不了机,非常…...
2022/11/19 21:17:00 - 正在准备配置请勿关闭计算机,正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了解决教程...
当电脑出现正在准备配置windows请勿关闭计算机时,一般是您正对windows进行升级,但是这个要是长时间没有反应,我们不能再傻等下去了。可能是电脑出了别的问题了,来看看教程的说法。正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了方法一…...
2022/11/19 21:16:59 - 配置失败还原请勿关闭计算机,配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机...
我们使用电脑的过程中有时会遇到这种情况,当我们打开电脑之后,发现一直停留在一个界面:“配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机”,等了许久还是无法进入系统。如果我们遇到此类问题应该如何解决呢࿰…...
2022/11/19 21:16:58 - 如何在iPhone上关闭“请勿打扰”
Apple’s “Do Not Disturb While Driving” is a potentially lifesaving iPhone feature, but it doesn’t always turn on automatically at the appropriate time. For example, you might be a passenger in a moving car, but your iPhone may think you’re the one dri…...
2022/11/19 21:16:57