1.6 同态和正规子群
§6 同态和正规子群
为研究群和群之间的关系、群的性质,同态又是一个重要的性质。
定义1.6.1(同态)
设 和 为两个群, 为群 到 的一个映射。若 适合条件:
称 为 到 的一个同态映射,或同态。
显见,同构是同态这一概念经过加强后的产物。同构映射必须是双射且对运算保持,而同态映射只需满足对运算保持的性质即可。故知:同构都是同态。相应地,也不难证明同态映射将单位元映到单位元、将逆元映到逆元。
定义1.6.2(象)
当 为 到 的一个同态,常简记其为
若 ,定义
显然 为 的一个子群,称其为同态 的象。
定义1.6.3(满同态,单一同态、嵌入映射)
若映射 是满射,则称其为满同态,若其为单射,则称为单一同态或嵌入映射。
定义1.6.4(完全反象,同态的核)
对于同态: ,对于任一 ,考虑集合:
它可能是空集,也可能包含一个以上的元素,称其为元素 的完全反象,记为 。
特别地,单位元素的完全反象称为同态 的核,记为 。
定理1.6.1
同态的核是群 的子群。
证明
由 知: 。 若 ,即 ,则 .
因此 为 的一个子群。
同态的核具有以下性质:
设
- 若 ,则
- ,对所有的 .
定义1.6.5(正规子群)
设 为群 的子群。若对所有元素 有 ,则称 为正规子群,记为 .
根据上面的讨论可以立即得出:同态的核都是正规子群;显然,在交换群中,每个子群都是正规的。
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2022/11/19 21:17:01 - 电脑配置中请勿关闭计算机怎么办,准备配置windows请勿关闭计算机一直显示怎么办【图解】...
不知道大家有没有遇到过这样的一个问题,就是我们的win7系统在关机的时候,总是喜欢显示“准备配置windows,请勿关机”这样的一个页面,没有什么大碍,但是如果一直等着的话就要两个小时甚至更久都关不了机,非常…...
2022/11/19 21:17:00 - 正在准备配置请勿关闭计算机,正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了解决教程...
当电脑出现正在准备配置windows请勿关闭计算机时,一般是您正对windows进行升级,但是这个要是长时间没有反应,我们不能再傻等下去了。可能是电脑出了别的问题了,来看看教程的说法。正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了方法一…...
2022/11/19 21:16:59 - 配置失败还原请勿关闭计算机,配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机...
我们使用电脑的过程中有时会遇到这种情况,当我们打开电脑之后,发现一直停留在一个界面:“配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机”,等了许久还是无法进入系统。如果我们遇到此类问题应该如何解决呢࿰…...
2022/11/19 21:16:58 - 如何在iPhone上关闭“请勿打扰”
Apple’s “Do Not Disturb While Driving” is a potentially lifesaving iPhone feature, but it doesn’t always turn on automatically at the appropriate time. For example, you might be a passenger in a moving car, but your iPhone may think you’re the one dri…...
2022/11/19 21:16:57